Determinan Matriks Ordo 2x2 dan 3x3

determinan matriks ordo 2x2 dan 3x3

mathcyber.my.id - Jika sahabat belajar mengenai matriks, maka akan ketemu dengan determinan matriks. Determinan matriks A dinyatakan dengan det (A) atau $\left | A \right |$. Matriks yang memiliki determinan hanyalah matriks persegi (mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama) 

Determinan Matriks Ordo 2x2 dan 3x3 

Misalkan diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}a &b \\ c& d\end{pmatrix}$. Determinan matriks dapat didefinisikan dengan :

det (A)=$\begin{vmatrix}a & b\\ c &d \end{vmatrix}=ad-bc$

Determinan matriks berordo 3x3 dapat dihitung dengan beberapa cara, salahsatunya adalah dengan menggunakan aturan Sarrus. Langkah-langkah dalam menentukan determinan dengan aturan sarrus adalah sebagai berikut.

1. Letakkan kolom pertama dan kedua disebelah kanan garis vertikal dari determinan 
2. Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping. 

Contoh:

Tentukan nilai determinan dari matriks berordo 2x2 dan 3x3 berikut ini:

a. $A=\begin{pmatrix}3 &5 \\ -2 & 4\end{pmatrix}$

b. $B=\begin{pmatrix}2 & 4 & 1\\ -1 & 0 &3 \\ 5& 2 & 4\end{pmatrix}$

Penyelesaian:

a. Determinan matriks A

$\begin{align*}A &=\begin{vmatrix}3 & 5\\ -2 & 4\end{vmatrix} \\  &=3.4-5.(-2)) \\  &=12-(-10)) \\  &= 22\end{align*}$

Jadi, determinan dari matriks A adalah 22.

b. Determinan matriks B

$\begin{align*}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix} &=\begin{matrix}\begin{vmatrix}2 &4  & 1\\ -1 & 0 &3 \\ 5 & 2 & 4\end{vmatrix}\begin{matrix} 4& 1\\  0& 3\\  2& 4\end{matrix}\end{matrix} \\  &=(2.0.4+4.3.2+1.0.4)(5.0.1+2.3.4+4.0.1) \\  &=(0+24+0)-(0+24+0) \\  &= 24-24\\  &= 0\\  \end{align*}$

Jadi determinan dari matriks B adalah 0.

Dari contoh a dan b dapat disimpulkan bahwa matriks A mempunyai determinan 22 sedangkan matriks B mempunyai determinan 0. Matriks yang nilai determinannya ≠ 0 disebut dengan matriks nonsingular (matriks A). Matriks yang nilai determinannya = 0 disebut dengan matriks singular (matriks B). 

Selain contoh soal diatas, bentuk lain soal yang menggunakan determinan seperti contoh berikut. Menentukan salah satu unsur dari elemen matriks X dengan menggunakan determinan.

Contoh soal 

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}x & 3\\ 2 & 2x\end{pmatrix}$ dan matriks $B=\begin{pmatrix}4 & -3\\ 3 & x\end{pmatrix}$. Agar determinan matriks A sama dengan dua kali determinan matriks B , tentukan nilai X

Penyelesaian:

Langkah pertama yang harus sahabat lakukan adalah menentukan nilai determinan masing-masing dari matriks A dan B.

• determinan matriks A

$\begin{align*}\left | A \right | &=\begin{vmatrix}x & 3\\ 2 & 2x\end{vmatrix}=(x.2x)-(3.2) \\  &= \left ( 2x^{2} \right )-6\end{align*}$

• determinan matriks B

$\begin{align*}\left | B \right | &=\begin{vmatrix}4 & -3\\ 3 & x\end{vmatrix}=(4.x)-(-3.3) \\  &= \left ( 4x \right )+9\end{align*}$

Karena nilai $\left | A \right |=2.\left | B \right |$ , maka dapat ditulis persamaan sebagai berikut:

$\begin{align*}\left | A \right | &=2.\left | B \right | \\ 2x^{2}-6 &=2(4x+9) \\ 2x^{2}-6 &=8x+18 \\ 2x^{2}-8x-6-18 &=0 \\ 2x^{2}-8x-24 &= 0\\ x^{2}-4x-12 &= 0\\  (x+2)(x-6)&=0 \\ x+2=0 &\rightarrow x=-2 \\ x-6=0 &\rightarrow x=6 \end{align*}$

Demikian untuk kesempatan kali ini sahabat belajar mengenai determinan matriks ordo 2x2 dan 3x3 semoga dapat dipahami. Untuk selanjutnya sahabat dapat belajar mengenai invers matriks.