Limit Fungsi Aljabar [Rumus dan contoh soal]

Limit Fungsi Aljabar [Rumus dan contoh soal]

mathcyber.my.id - halo sahabat, kembali lagi yuukkk belajar matematika. Kali ini sahabat akan admin ajak untuk belajar materi limit fungsi aljabar. 

Pengertian Limit Fungsi

Apakah sahabat ada yang tahu apa sih arti dari kata limit ?? Mungkin bagi sahabat yang suka shooping atau berbelanja, pasti sering melihat tulisan "Limited Edition" diberbagai toko atau mall tempat sahabat berbelanja. Benar sekali bahwa limit berarti terbatas, lalu bagaimana pengertian dari limit fungsi itu sendiri ya sahabat??

Limit Fungsi adalah nilai sebuah fungsi yang mempunyai pendekatan nilai tertentu. 

Rumus Fungsi Aljabar

Jika sahabat mempelajari tentang limit fungsi, maka harus tahu tentang rumus-rumus dari limit fungsi ya atau biasa di kenal dengan sifat-sifat dari limit fungsi. Berikut adalah sifat-sifat dari limit fungsi:

Sifat-sifat dari limit fungsi aljabar tersebut wajib sahabat pahami supaya lebih mudah saat mengerjakan soal latihan tentang limit fungsi aljabar.

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar

Sahabat, perlu diketahui bahwa bentuk umum dari limit fungsi aljabar adalah sebagai berikut:

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$

dengan c adalah konstanta atau disebut dengan pendekatan nilai limit.

Pada dasarnya, untuk menentukan nilai limit ada 3 cara yaitu:

1. Substitusi langsung
2. Faktorisasi
3. Turunan/ differensial

Agar lebih paham dengan limit fungsi aljabar, coba perhatikan contoh soal dan pembahasannya berikut ini. 

Contoh 1

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-2x+5}$

Pembahasan

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-2x+5} &=\frac{3-3}{3^{2}-2(3)+5} \\  &=\frac{0}{9-6+5} \\  &=\frac{0}{8} \\  &= 0\end{align*}$

Contoh 2

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+4x-1}{x-2}$

Pembahasan

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+4x-1}{x-2} &=\frac{2^{2}+4(2)-1}{2-2} \\  &=\frac{4+8-1}{0} \\  &=\frac{11}{0} \\  &= \infty \end{align*}$

Contoh 3

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}-5x+6}$

Pembahasan

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}-5x+6} &=\frac{2-2}{2^{2}-5(2)+6} \\  &=\frac{0}{4-10+6} \\  &=\frac{0}{0} \\  &= tak\: terdefinisi\end{align*}$

Coba sahabat amati contoh soal 1, 2 dan 3. Untuk contoh soal 1 dan 2 jelas ada nilai limit yang dihasilkan, tetapi untuk soal nomor 3 nilai limitnya tidak dapat didefinisikan. Jadi jelas bahwa ketika sahabat mengerjakan soal limit tidak diperbolehkan menghasilkan angka 0 pada pembilang dan penyebutnya. 

Jika sebuah soal limit fungsi menghasilkan bilangan 0 dibagian pembilang dan penyebut maka sahabat dapat menggunakan pemfaktoran atau dengan merasionalkan penyebutnya (jika soal berbentuk akar)

Dari contoh soal 3, maka dapat dikerjakan dengan cara pemfaktoran sebagai berikut:

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}-5x+6} &= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}\\  &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x-3} \\  &=\frac{1}{2-3} \\  &= -1\end{align*}$

Contoh 4

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 6}\frac{x^{2}-36}{x^{2}-4x-12}$

Pembahasan

Jika sahabat melakukan substitusi nilai pendekatan x = 6 ke soal diatas, maka akan didapat nilai $\frac{0}{0}$ , maka harus diselesaikan dengan cara faktorisasi. 

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 6}\frac{x^{2}-36}{x^{2}-4x-12} &=\lim_{x\rightarrow 6}\frac{(x-6)(x+6)}{(x-6(x+2)}\rightarrow coret\; yang\; sama \; (x-6)\\  &=\lim_{x\rightarrow 6}\frac{x+6}{x+2} \\  &=\frac{6+6}{6+2} \\  &=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \end{align*}$

Contoh 5

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{3-\sqrt{4x+1}}$

Pembahasan

Jika sahabat melakukan substitusi nilai pendekatan x = 2 ke soal diatas, maka akan didapat nilai $\frac{0}{0}$ , maka harus diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut.

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{3-\sqrt{4x+1}} &= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{3-\sqrt{4x+1}}\cdot \frac{3+\sqrt{4x+1}}{3+\sqrt{4x+1}}\\  &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(3+\sqrt{4x+1})}{9-(4x+1)} \\  &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(3+\sqrt{4x+1})}{9-4x-1} \\  &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(3+\sqrt{4x+1})}{-4x+8} \\  &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(3+\sqrt{4x+1})}{-4(x-2)}\Rightarrow coret\; yang\; sama\; (x-2) \\  &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{3+\sqrt{4x+1}}{-4} \\  &=\frac{3+\sqrt{4(2)+1}}{-4} \\  &= \frac{3+\sqrt{9}}{-4}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}\end{align*}$

Contoh 6

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}$

Pembahasan

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-8}{x-2} &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2} \\  &=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}+2x+4}{1}\\  &= 2^{2}+2(2)+4\\  &= 4+4+4\\  &= 12\end{align*}$

Contoh 7

Tentukan nilai dari limit: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x^{2}}$

Pembahasan

$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x^{2}} &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})} \Rightarrow coret\; yang\; sama\; (1-\sqrt{x}))\\   &=\frac{1}{1+\sqrt{x}} \\  &=\frac{1}{1+\sqrt{1}} \\  &=\frac{1}{2} \end{align*}$

Demikian materi limit fungsi yang kita pelajari pada kesempatan kali ini, semoga menjadikan manfaat bagi kita semua.