Persamaan Eksponen [Rumus, Soal dan Pembahasan]

Persamaan Eksponen [Rumus, Soal dan Pembahasan]

mathcyber.my.id - persamaan eksponen merupakan materi lanjutan dari eksponen dan logaritma yang dipelajari dikelas X SMA. 

Sering kali materi ini dianggap sulit karena kurangnya konsep dan pengetahuan mengenai syarat-syarat dan rumus yang harus di kuasai. 

Persamaan Eksponen [Rumus, Soal dan Pembahasan]

Masih ingatkah kalian dengan sifat-sifat eksponen ? coba perhatikan kembali sifat dari eksponen berikut ini sebelum kalian mempelajari materi tentang persamaan eksponen.

Jika a dan b bilangan real serta n, p dan q adalah bilangan bulat positif maka berlaku :

Sifat eksponen diatas sering kita gunakan dalam menyelesaikan soal yang muncul. Kemudian untuk lebih memahami materi tentang persamaan eksponen, perhatikan rumus berikut.

Rumus Persamaan Eksponen

Untuk a, b > 0 dan a, b ≠ 1 maka berlaku :

Rumus persamaan eksponen diatas yang akan kita pakai untuk menyelesaikan soal berikut.

Soal dan Pembahasan Persamaan Eksponen

Soal nomor 1

Akar-akar persamaan $2^{x}+2^{3-x}=9$ adalah α dan β. Nilai dari α + β = ....

a. 3

b. 4

c. 6

d. 8

e. 9

Pembahasan

$\begin{align*}2^{x}+2^{3-x} &=9 \\ 2^{x}+\frac{2^{3}}{2^{x}} &=9 \\ \end{align*}$

Misal $2^{x}=p$ maka :

$\begin{align*}p+\frac{8}{p} &=9 \\ .............. &.......\times p \\ p^{2}+8 &=9p \\ p^{2}-9p+8 &=0 \\ (p-8)(p-1) &=0\\p=8&\: atau\: p=1 \end{align*}$

Kemudian setelah didapat nilai p, masukkan kembali dalam permisalan $2^{x}=p$

$\begin{align*}2^{x} &=8\: atau\: 2^{x}=1 \\ 2^{x} &=2^{3} \: atau \:2^{x}=2^{0}\\ x &=3\: atau\; x=0 \\ \end{align*}$

Anggap saja nilai $x_{1}=\alpha$ dan $x_{1}=\beta$ maka nilai α + β = 3 + 0 = 3

Soal nomor 2

Akar-akar persamaan $4^{x} -12.2^{x}+32=0$ adalah $x_{1}\: dan\: x_{2}$. Nilai dari $x_{1}.x_{2}$ adalah ....

a. 3

b. 6

c. 8

d. 12

e. 32

Pembahasan

$\begin{align*}4^{x}-12.2^{x}+32 &=0 \\  (2^{x})^{2}-12.2^{x}+32&=0 \\  misal\: 2^{x}=p& \\  p^{2}-12p+32&=0 \\(p-8)(p-4)&=0\\p=8&\: dan\: p=4\\\end{align*}$

Kemudian kembalikan nilai p kedalam permisalan $2^{x}=p$

$\begin{align*}2^{x}=8 &\: dan\: 2^{x}=4 \\ 2^{x}=2^{3} &\: dan\: 2^{x}=2^{2} \\ x_{1}=3 &\: dan\: x_{2}=2 \\ \end{align*}$

Jadi nilai $x_{1}.x_{2}=3.2=6$

Soal nomor 3

Himpunan penyelesaian persamaan $2.9^{x}-3^{x+1}+1=0$ adalah ....

a. $\left \{ \frac{1}{2},1 \right \}$

b. $\left \{ -\frac{1}{2},-1 \right \}$

c. $\left \{ -\frac{1}{2},1 \right \}$

d. $\left \{ 0,^{3}log\frac{1}{2} \right \}$

e. $\left \{ 0,^{\frac{1}{2}}log3 \right \}$

Pembahasan

$\begin{align*}2.9^{x}-3^{x+1}+1 &=0 \\ 2.(3^{x})^{2}-3^{x}.3^{1} +1&=0 \\ misal\: 3^{x}=p & \\  2p^{2}-3p+1&=0 \\ (2p-1)(p-1) &=0\\p=\frac{1}{2}&\: atau\: p=1 \end{align*}$

Kemudian kembalikan nilai p kedalam permisalan $3^{x}=p$

$\begin{align*}3^{x}=\frac{1}{2} &\: dan\: 3^{x}=1 \\ log\, 3^{x}=log\, \frac{1}{2} &\: dan\: 3^{x}=3^{0} \\  x.log\, 3=log\, \frac{1}{2}&\: dan\: x=0 \\ x=\frac{log\, \frac{1}{2}}{log\, 3} &\\x=^{3}log\, \frac{1}{2}& \end{align*}$

Jadi himpunan penyelesaian $\left \{ 0,^{3}log\frac{1}{2} \right \}$

Soal nomor 4

Penyelesaian persamaan $\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}$ adalah p dan q, dengan p > q. Nilai dari p + 6q = ....

a. -17

b. -1 

c. 3

d. 6

e. 19

Pembahasan

$\begin{align*}\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}} &=\frac{1}{32^{x-1}} \\(2^{3})^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}} &=(2^{-5})^{x-1} \\ 2^{\frac{3x^{2}-12x+9}{2}} &=2^{-5x+5} \\ \frac{3x^{2}-12x+9}{2} &=-5x+5 \\ 3x^{2}-12x+9 &=-10x+10\\3x^{2}-12x+9+10x-10&=0\\3x^{2}-2x-1&=0\\(3x+1)(x-1)&=0\\x=-\frac{1}{3}&\: atau\: x=1\\\end{align*}$

Karena p > q maka p = 1 dan $q=-\frac{1}{3}$, jadi :

$\begin{align*}p+6q &= 1+6(-\frac{1}{3})\\  &=1-2 \\  &= -1\end{align*}$

Soal nomor 5

Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut!

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ....

a. $^{2}log\, x$

b. $^{\frac{1}{2}}log\: x$

c. -2. log x

d. 2 log x

e. $^-{\frac{1}{2}}log\: x$

Pembahasan

$\begin{align*} (2,\frac{1}{4})\Rightarrow y &=a^{x}\\  \frac{1}{4}&=(a)^{2} \\  \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}&=(a)^{2} \\a&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Kemudian, gunakan logaritma untuk penyelesaian:

$\begin{align*}y &=a^{x} \\ y &=\left (\frac{1}{2}  \right )^{x} \\ log\, y &=log\, \left ( \frac{1}{2} \right )^{x} \\ log\, y &= x.log\, \frac{1}{2}\\ x &=\frac{log\, y}{log\, \frac{1}{2}} \\ x &= ^{\frac{1}{2}}log\, y\\\end{align*}$

Jadi fungsi invers dari grafik tersebut adalah $y=^{\frac{1}{2}}log\: x$

Soal nomor 6

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $9^{x}-\frac{10}{3}.3^{x}+1=0$. Nilai dari $x_{1}+x_{2}$ adalah ....

a. 2

b. 3/2

c. 1

d. 0

e. -2

Pembahasan

$\begin{align*}9^{x}-\frac{10}{3}.3^{x}+1 &=0 \\ (3^{x})^{2}-\frac{10}{3}.3^{x}+1 &=0 \\  misalkan\; 3^{x}=p& \\  p^{2}-\frac{10}{3}p+1&=0 \\  .......................&..... \times 3 \\ 3p^{2}-10p+3 &=0\\(3p-1)(p-3)&=0 \\p=\frac{1}{3}&\; atau\; p=3 \\\end{align*}$

Kemudian kembalikan kedalam permisalan $3^{x}=p$

$\begin{align*}3^{x}=\frac{1}{3} &\; dan\; 3^{x}=3 \\ 3^{x}=3^{-1} &\: dan\:  3^{x}=3^{1} \\ x=-1 &\; dan\; x=1 \\ \end{align*}$

Jadi nilai dari $x_{1}+x_{2}=1+(-1)=0$

Soal nomor 7

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2^{2x}-5.2^{x+1}=-16$ adalah ....

a. (1, 3)

b. (-1, 3)

c. (1, -3)

d. (2, 8)

e. (-2, 8)

Pembahasan

$\begin{align*}2^{2x}-5.2^{x+1} &=-16 \\ (2^{x})^{2}-5.2^{1}.2^{x}+16 &= 0\\ (2^{x})^{2}-10.2^{x}+16 &=0 \\  misalkan\; 2^{x}=p& \\ p^{2}-10p+16 &=0 \\ (p-8)(p-2) &=0 \\p=8&\; atau\; p=2 \\\end{align*}$

Kemudian kembalikan kedalam persamaan $2^{x}=p$

$\begin{align*}2^{x}=8 &\; dan\; 2^{x}=2 \\ 2^{x}=2^{3} &\; dan\; 2^{x}=2^{1} \\ x=3 &\; dan\; x=1 \\ \end{align*}$

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah (1, 3)