 |
| Soal dan Pembahasan Barisan Deret SMA |
mathcyber.my.id - materi barisan dan deret seringkali menjadi momok bagi sebagian siswa karena soal yang terlihat susah untuk dikerjakan. Berikut admin bahas beberapa soal ulangan matematika materi barisan dan deret.
Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret SMA
Soal nomor 1
Misalkan Un merupakan rumus suku ke-n barisan aritmatika. Jika diketahui U1 + U2 + U3 = -9 dan U3 + U4 + U5 = 15, maka suku ke-15 barisan tersebut adalah ....
Pembahasan:
Ingat bahwa rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah : $U_{n}=a+(n-1)b$
$\begin{align*}U_{1}+U_{2}+U_{3} &=-9 \\ a+(a+b)+(a+2b) &=-9 \\ 3a+3b&= -9\\ a+b&=-3\rightarrow (pers.1) \\ \end{align*}$
--------------------------------------------------------------------
$\begin{align*}U_{3}+U_{4}+U_{5} &=15 \\ (a+2b)+(a+3b)+(a+4b) &=15 \\ 3a+9b&= 15\\ a+3b&=5\rightarrow (pers.2) \\ \end{align*}$
Kemudian substitusi/ eliminasi persamaan (1) dan (2) untuk mencari nilai a dan b.
$\begin{align*}a+b &=-3 \\ a+3b &=5 \\ ........... &.........(-) \\ -2b&=-8 \\ b&=4 \\ & \\ a+b&=-3 \\ a+4&=-3 \\a &= -7\end{align*}$
Jadi besar suku ke-15 adalah:
$\begin{align*}U_{15} &= a+14b\\ &=-7+14(4) \\ &= 49\end{align*}$
Soal nomor 2
Sejumlah uang ditabung dan dikenakan bunga tunggal dengan prosentase bunga yang telah disepakati. Jika uang diambil pada bulan keempat, besar uang tabungan menjadi Ro2.104.000. Jika uang diambil pada bulan ketujuh besar uang menjadi Rp2.170.000, maka besar uang tabungan awal dan besar bunga setiap bulannya adalah ... (dalam rupiah)
Pembahasan:
$\begin{align*}U_{4}\rightarrow a+3b &=2.104.000 \\ U_{7}\rightarrow a+6b &=2.170.000 \\ 3b&= 66.000\\ b&=22.000 \\ & \\ a+3b&=2.104.000 \\ a+3(22.000)&=2.104.000 \\ a&=2.104.000-66.000 \\ a &= 2.038.000\end{align*}$
Jadi besar tabungan awal sebesar Rp2.038.000 dan besar bunga Rp22.000
Soal nomor 3
Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 14 tahun dan si sulung 24 tahun, maka jumlah usia kelima orang anak tersebut 6 tahun yang akan datang adalah ....
Pembahasan:
$\begin{align*}U_{1}\rightarrow a &=14 \\ U_{5}\rightarrow a+4b &=24 \\ 14+4b&=24 \\ 4b &=24-14 \\ b &=2,5 \\ & \\ S_{n} &=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{5} &= \frac{5}{2}(2.14+(5-1)2,5)\\ &= \frac{5}{2}(28+10)\\ &= 95\end{align*}$
Jadi jumlah usia kelima orang anak 6 tahun yang akan datang adalah 95 + 6 = 101 tahun.
Soal nomor 4
Tentukan jumlah semua bilangan kelipatan 5 tapi bukan kelipatan 3 antara 18 dan 399.
Pembahasan:
bilangan kelipatan 5 tapi bukan kelipatan 3
20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + ... + 390 + 395 (warna merah merupakan bilangan kelipatan 5 dan 3)
Untuk menghitungnya kita cukup mencari selisih jumlah bilangan keseluruhan dengan bilangan warna merah.
diketahui $a=20$, $b=5$ dan $Un=395$
$\begin{align*}Un &=a+(n-1)b \\ 395 &=20+(n-1)5 \\ 395-20 &=(n-1)5 \\ 375&=(n-1)5 \\(n-1)&=75 \\ n &=76 \end{align*}$
setelah itu kita cari jumlah n suku pertamanya.
$\begin{align*}Sn &=\frac{n}{2}(a+Un) \\ &=\frac{76}{2}(20+395) \\ &=38(415) \\ &= 15.770\end{align*}$
untuk deret bilangan warna merah (kelipatan 5 dan 3).
$a=30$, $b=15$ dan $Un=390$
$\begin{align*}Un &=a+(n-1)b \\ 390 &=30+(n-1)15 \\ 390-30 &=(n-1)15 \\ 360&=(n-1)15 \\(n-1)&=24 \\ n &=25 \end{align*}$
setelah itu kita cari jumlah n suku pertamanya.
$\begin{align*}Sn &=\frac{n}{2}(a+Un) \\ &=\frac{25}{2}(30+390) \\ &=\frac{25}{2}(420) \\ &=5.250 \end{align*}$
Jadi jumlah bilangan kelipatan 5 tapi bukan kelipatan 3 antara 18 dan 399 adalah 15.770 - 5.250 = 10.520
Soal nomor 5
Lima bilangan merupakan deret aritmatika yang jumlahnya sama dengan 175. Bilangan ketiga sama dengan tiga kali bilangan pertama. Empat kali bilangan kedua tersebut adalah ...
Pembahasan:
$\begin{align*}U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5} &= 175\\ a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)&=175 \\ 5a+10b &=175 \\ a+2b&= 35\rightarrow (pers.1)\\ & \\ U_{3}&=3.U_{1} \\ a+2b&=3a \\a-3a+2b&=0 \\-2a+2b&=0 \\-a+b&=0\rightarrow (pers.2) \\ ---------------- & ---------\end{align*}$
Kemudian substitusikan persamaan (1) dan (2) untuk menentukan nilai a dan b.
$\begin{align*}a+2b &=35 \\ -a+b &=0 \\ ............&........(+) \\ 3b &=35 \\ b&=\frac{35}{3} \\& \\-a+b&=0 \\-a+\frac{35}{3}&=0 \\ a&=\frac{35}{3} \\\end{align*}$
nilai bilangan kedua : $U_{2}=a+b=\frac{35}{3}+\frac{35}{3}=\frac{70}{3}$
Jadi, empat kali bilangan kedua adalah $4.\frac{70}{3}=\frac{280}{3}$.
Soal nomor 6
Jika $(a+2), (a-1), (a-7)$, .... membentuk deret geometri maka jumlah 10 suku deret tersebut adalah ....
Pembahasan:
Langkah pertama kita cari dulu nilai rasio (r) dan suku pertama (a)
$\begin{align*}r &=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}} \\ \frac{a-1}{a+2}&=\frac{a-7}{a-1} \rightarrow (kali\, silang)\\ (a-1)(a-1)&=(a-7)(a+2) \\ \not{a}^{2}-2a+1&=\not{a}^{2}-5a-14 \\ -2a+5a&=-14-1\\ 3a&=-15 \\ a&= -5\\ & \\r &=\frac{U_{2}}{U_{1}} \\ &=\frac{a-1}{a+2} \\ &= \frac{-6}{-3}\\ &= 2\end{align*}$
Setelah itu kita cari jumlah 10 suku pertama, dengan nilai $a=-5, r=2$, dan $n=10$
$\begin{align*}S_{n} &=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\ S_{10}&=\frac{-5(2^{10}-1)}{2-1} \\ &=\frac{-5(1023)}{1} \\ &= -5.115\end{align*}$
Jadi jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah $-5.115$
Soal nomor 7
Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}-(2k+4)x+(3k+4)=0$. Kedua akar tersebut adalah bilangan bulat, dan k adalah konstanta. Jika $x_{1}, k, x_{2}$ merupakan tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah 20 suku pertama deret geometri tersebut adalah ....
Pembahasan:
dari persamaan kuadrat diatas, diketahui bahwa nilai : $a=1,b=(2k+4), c=(3k+4)$
ingat bahwa rumus hasil kali akar :
$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{3k+4}{1}=3k+4$
Kemudian, ingat juga mengenai konsep rasio (r) pada deret aritmatika untuk mencari nilai k. Pada soal dijelaskan bahwa $x_{1}, k, x_{2}$ merupakan tiga suku pertama deret geometri, maka:
$\begin{align*}r &=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}} \\ \frac{k}{x_{1}}&=\frac{x_{2}}{k} \\ k.k&= x_{1}.x_{2}\\ k^{2}&=3k+4 \\ k^{2}-3k-4&=0 \\(k-4)(k+1)&=0 \\k=4&\vee k=-1 \\\end{align*}$
Setelah nilai k didapatkan, kemudian substitusikan nilai k ke dalam persamaan kuadratnya (nilai k yang diambil adalah $-1$)
$\begin{align*}x^{2}-(2k+4)x+(3k+4) &=0 \\ k=-1\rightarrow x^{2}-(2(-1)+4)x+(3(-1)+4) &=0 \\ x^{2}-2x+1&=0 \\ (x-1)(x-1)&= 0\\x_{1}=1&\vee x_{2}=1 \end{align*}$
Sehingga di simpulkan deret geometri tersebut adalah : $1,-1,1$ sehingga $a=1,r=-1$:
$\begin{align*}Sn &=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} \\ S_{20}&=\frac{1(1-(-1)^{20})}{1-(-1)} \\ &=\frac{1(1-1)}{2} \\ &= 0 \end{align*}$
Jadi jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 0.
Soal nomor 8
Sebuah tali dipotong menjadi 7 bagian sedemikian sehingga panjang masing-masing bagian membentuk deret geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm maka panjang keseluruhan tali tersebut adalah ....
Pembahasan:
Dari soal diatas, diketahui beberapa hal.
$U1=6, U7=384$ dan $n=7$
Jadi panjang tali keseluruhan adalah nilai dari jumlah 7 suku pertama. Pertama mari kita cari nilai rasio (r) terlebih dahulu.
$\begin{align*}\frac{U_{7}}{U_{1}} &= \frac{a.r^{6}}{a}\\ \frac{384}{6}&=r^{6} \\ r^{6}&=64 \\ r^{6} &= 2^{6}\\ r&= 2\end{align*}$
Kemudian cari jumlah n suku pertamanya.
$\begin{align*}S_{n} &=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\ S_{7}&=\frac{6(2^{7}-1)}{2-1} \\ &=\frac{6(127)}{1} \\ &=762\end{align*}$
Jadi panjang tali keseluruhan adalah 762 cm.
Soal nomor 9
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu. Jika panjang seluruh lintasan bola tersebut adalah 180 cm dan bola memantul kembali setinggi 0,8 kali dari ketinggian semula, maka tinggi bola saat akan dijatuhkan adalah ... cm
Pembahasan:
Ingat kembali rumus untuk menghitung panjang lintasan bola.
$PL=\left ( \frac{b+k}{b-k} \right ).a$
dengan:
PL = panjang lintasan bola sampai berhenti
b = bilangan besar (dilihat dari rasio)
k = bilangan kecil (dilihat dari rasio)
a = ketinggian awal bola
Dari soal diatas, diketahui bahwa nilai : $b=10, k=8, PL=180$ sehingga:
$\begin{align*}PL &=\left ( \frac{b+k}{b-k} \right ) .a\\ 180&=\left ( \frac{10+8}{10-8} \right ).a \\ 180 &=9a \\ a&=20\end{align*}$
Jadi tinggi bola saat akan dijatuhkan adalah 20 cm.
Selain menggunakan cara tersebut, kalian juga dapat menggunakan rumus deret geometri tak hingga dengan mencari lintasan naik dan lintasan turun.
Soal nomor 10
Suku keempat suatu barisan geometri sama dengan suku kedelapan barisan aritmatika. Kedua barisan mempunyai suku pertama 2. Jika rasio barisan geometri sama dengan beda barisan aritmatika dan keduanya merupakan bilangan bulat maka suku kelima barisan geometri dikurangi suku kesebelas barisan aritmatika sama dengan ,...
Pembahasan:
Dari soal diketahui bahwa : $a=2, r=b$
$\begin{align*}U_{4(geo)} &=U_{8(arit)} \\ a.r^{3} &= a+7b\\ 2.r^{3} &=2+7r\rightarrow (r=b) \\ 2r^{3}-7r-2 &=0 \end{align*}$
dengan menggunakan polinomial (suku banyak) akan di dapatkan nilai $r=2$ sehingga nilai $b=2$
$\begin{align*}U_{5(geo)}-U_{11(arit)} &=a.r^{4}-(a+10b) \\ &=2.2^{4}-(2+10.2) \\ &= 32-22\\&= 10\end{align*}$
Semoga bermanfaat kak.