Transformasi Geometri [Rumus, Soal dan Pembahasan]

Transformasi Geometri [Rumus, Soal dan Pembahasan]

mathcyber.my.id - halo sahabat apa kabar? kali ini admin akan membahas mengenai materi transformasi geometri. 

Ada empat sub-materi dalam pembahasan transformasi geometri yaitu: 

1. Translasi (pergeseran)
2. Refleksi (pencerminan)
3. Rotasi (perputaran)
4. Dilatasi (pembesaran)

Transformasi Geometri [Rumus, Soal dan Pembahasan] 

Translasi [Pergeseran]

permainan ular tangga

Pernahkah kalian memainkan permainan ular tangga? kalau dibayangkan permainan tersebut selalu berpindah-pindah sesuai dengan mata dadu yang muncul saat dilempar. 

Jika dikaitkan dengan translasi maka translasi adalah proses/ aktifitas pergeseran dari satu tempat ke tempat lainnya. 

Misalkan sebuah titik (x, y) ditranslasikan oleh $T=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$, maka didapatkan bayangan $\left ( x^{1},y^{1} \right )$:

$\begin{pmatrix}x^{1}\\y^{1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}\; atau\; \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{1}\\ y^{1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$

Refleksi [Pencerminan]

• Misalkan M matriks refleksi berordo 2x2, maka :

$\begin{pmatrix}x^{1}\\y^{1} \end{pmatrix}=M.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\; atau\; \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=M^{-1}.\begin{pmatrix}x^{1}\\ y^{1}\end{pmatrix}$

• Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y=x dan garis y=-x dapat dicari dengan proses refleksi titik-titik pada bidang koordinat sebagai berikut:

Rotasi [Perputaran]

Rumus yang digunakan untuk rotasi (perputaran) disajikan dalam tabel berikut:

Dilatasi [Pembesaran]

Dilatasi dengan pusat [O, k] berarti faktor skala pengali k dan pusat di O (0, 0)

$\begin{pmatrix}x^{1}\\y^{1}\end{pmatrix}=k.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\frac{1}{k}.\begin{pmatrix}x^{1}\\ y^{1}\end{pmatrix}$

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal nomor 1

Bayangan titik (-5, 7) oleh rotasi R $(P, 90^{\circ})$ adalah (-3, 3). Tentukan koordinat titik P

Pembahasan

dari soal diketahui bahwa:

titik (-5,7) $\rightarrow$ $x=-5, y=7$

rotasi $(P, 90^{\circ})$ $\rightarrow$ $\alpha =90^{\circ}$

bayangan titik (-3, 3) $\rightarrow$ $x'=-3, y'=3$

Berdasarkan soal tersebut, maka dapat digunakan rumus sebagai berikut:

Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar $\alpha$

sehingga diperoleh:

$\begin{align*}-3 &=-7+a \\ a &= -3+7\\ a &=4 \\  3&= -5+b\\ b &= 3+5\\  b&= 8\ \end{align*}$

Jadi koordinat titik P adalah (4, 8)

Soal nomor 2

Tentukan bayangan garis $y=3x-2$ jika dicerminkan terhadap garis x=2 .

Pembahasan

$\begin{align*} (x,y)\overset{x=a}{\rightarrow}(x',y') &=(2a-x,y) \\ (x',y') &=(2(2)-x,y) \\ &=(4-x,y)\end{align*}$

maka : $x'=4-x$ $\rightarrow$ $x=4-x'$

dan $y'=y$

Bayangan garis $y=3x-2$ adalah :

$y=3(4-x)-2$

$y=12-3x-2$

$y=10-3x$

Soal nomor 3

Tentukan bayangan garis $3x+4y-5=0$ oleh dilatasi dengan pusat $(-2,1)$ dan faktor skala 2.

Pembahasan

Ingat kembali rumus untuk mencari bayangan titik oleh dilatasi:

$\begin{align*} \binom{x'}{y'} &=2\bigl(\begin{smallmatrix} x+2\\ y-1\end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix} -2\\ 1 \end{smallmatrix}\bigr) \\&=\bigl(\begin{smallmatrix} 2x+4\\ 2y-2 \end{smallmatrix}\bigr) +\bigl(\begin{smallmatrix} -2\\ 1\end{smallmatrix}\bigr)\\ \bigl(\begin{smallmatrix} x'\\ y' \end{smallmatrix}\bigr)&=\bigl(\begin{smallmatrix} 2x+2\\ 2y-1 \end{smallmatrix}\bigr) \\ x' &=2x+2\rightarrow x=\frac{x'-2}{2}\\ y' &=2y-1\rightarrow y=\frac{y'+1}{2} \end{align*}$

Jadi bayangan garis $3x+4y-5=0$ oleh dilatasi dengan pusat $(-2,1)$ dan faktor skala 2 adalah:

$3\bigl(\begin{smallmatrix}\frac{x-2}{2}\end{smallmatrix}\bigr)+4(\frac{y+1}{2})-5=0$

$3x-6+4y+4-10=0$

$3x+4y-12=0$

Soal nomor 4

Garis $3x+2y=6$ ditranslasikan oleh $T=\bigl(\begin{smallmatrix}3\\ -4\end{smallmatrix}\bigr)$, dilanjutkan dilatasi terhadap pusat O dengan faktor skala 2. Tentukan hasil transformasi garis tersebut. 

Pembahasan

Ingat kembali rumus translasi dan dilatasi ya kak:

Translasi : $A(x,y)\overset{T\bigl(\begin{smallmatrix}a\\ b\end{smallmatrix}\bigr)}{\rightarrow}A'(x+a,y+b)$

Dilatasi : $A(x,y)\overset{D(0,k)}{\rightarrow}A'(kx,ky)$

Kemudian kita petakan kedalam soal yang diketahui:

$A(x,y)\overset{T\bigl(\begin{smallmatrix}3\\-4 \end{smallmatrix}\bigr)}{\rightarrow} A'(x+3,y-4)\overset{D[o,2]}{\rightarrow}A''(2x+6,2y-8)$

Sehingga: 

$\begin{align*}x'=2x+6\rightarrow 2x &=x'-6 \\ x &= \frac{x'-6}{2}\\ y'=2y-8\rightarrow 2y &=y'+8 \\  y&= \frac{y'+8}{2}\end{align*}$

Jadi bayangan garisnya adalah:

$\begin{align*}3x+2y &= 6\\ 3\left ( \frac{x'-6}{2} \right )+2\left (\frac{y'+8}{2} \right ) &= 6\\ \frac{3x'-18}{2}+\frac{2y'+16}{2} &=6 \\ 3x'+2y'-2 &=12 \\ 3x'+2y' &=14 \\ 3x+2y-14 &= 0\end{align*}$

Soal nomor 5

Tentukan hasil dilatasi terhadap titik $B (-1,3)$ dengan pusat $O (0,0)$ dan faktor skala 2.

Pembahasan

Ingat bahwa rumus dilatasi: 

$B(x,y)\overset{D(0,k)}{\rightarrow}B'(kx,ky)$

Jadi $x'=x.k$ $\rightarrow$ = -1(2) = -2

$y'=y.k$ $\rightarrow$ = 3(2) = 6

maka bayangan titik $B (-1,3)$ dengan pusat $O (0,0)$ dan faktor skala 2 adalah (-2, 6)

Soal nomor 6

Jika kurva $y=x^{2}-3x+2$ dicerminkan terhadap titik (2, -3) persamaan bayangannya adalah ....

Pembahasan

Mari kita cari dulu rumus untuk titik bayangan pencerminan ya kak.

$\begin{align*}\bigl(\begin{smallmatrix}x'\\ y'\end{smallmatrix}\bigr) &=\bigl(\begin{smallmatrix}2a-x\\ 2b-y \end{smallmatrix}\bigr) \\ \bigl(\begin{smallmatrix}x'\\ y'\end{smallmatrix}\bigr) &=\bigl(\begin{smallmatrix}2(2)-x\\ 2(-3)-y\end{smallmatrix}\bigr) \\ \bigl(\begin{smallmatrix} x'\\ y'\end{smallmatrix}\bigr) &=\bigl(\begin{smallmatrix}4-x\\-6-y\end{smallmatrix}\bigr)\end{align*}$

sehingga:

$\begin{align*}x' &=4-x\rightarrow x=4-x' \\ y' &= -6-y\rightarrow y=-6-y'\end{align*}$

Kemudian kita masukkan nilai x dan y kepersamaan kurva yang diketahui:

$\begin{align*}y &= x^{2}-3x+2\\ -6-y' &= (4-x')^{2}-3(4-x')+2\\ -6-y' &=16-8x'+x'^{2} -12+3x'+2\\ -y'&=x'^{2}-5x'+12 \\  y'&=-x'^{2} +5x'-12\\ y &= -x^{2}+5x-12 \end{align*}$

Soal nomor 7

Persamaan bayangan garis $y=3x+2$ jika dirotasikan sebesar $90^{0}$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat O (0,0) dilanjutkan dilatasi menggunakan faktor skala 2 dengan pusat O (0,0) adalah ....

Pembahasan

Ingat kembali rumus rotasi ya kak. Rotasi titik A ( x,y) terhadap titik pusat (p,q) dengan sudut $\alpha$ adalah:

$\begin{align*}\bigl(\begin{smallmatrix}x'-p\\ y'-q\end{smallmatrix}\bigr) &= \bigl(\begin{smallmatrix}cos\alpha  & -sin\alpha \\  sin\alpha & cos\alpha \end{smallmatrix}\bigr).\bigl(\begin{smallmatrix}x-p\\y-q \end{smallmatrix}\bigr)\\ \bigl(\begin{smallmatrix}x'-0\\y'-0 \end{smallmatrix}\bigr) &=\bigl(\begin{smallmatrix}cos 90^{\circ} & -sin 90^{\circ}\\ sin 90^{\circ} & cos 90^{\circ}\end{smallmatrix}\bigr) .\bigl(\begin{smallmatrix}x-0\\y-0\end{smallmatrix}\bigr)\\ \bigl(\begin{smallmatrix} x'\\y' \end{smallmatrix}\bigr) &=\bigl(\begin{smallmatrix}0 &-1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr).\bigl(\begin{smallmatrix}x\\y \end{smallmatrix}\bigr) \\  &=\bigl(\begin{smallmatrix}-y\\ x\end{smallmatrix}\bigr) \end{align*}$

Sehingga didapatkan $x=y'$ dan $y=-x'$

Kemudian kita substitusikan x dan y ke persamaan pada soal.

$\begin{align*}y &=3x+2 \\ -x &=3y'+2 \\ x'+3y'+2 &= 0\\ x+3y+2 &=0 \end{align*}$

Langkah berikutnya kita lanjutkan dengan dilatasi pusat O (0,0) dengan skala 2, ingat kembali rumus dilatasi:

$B(x,y)\overset{D(0,k)}{\rightarrow}B'(kx,ky)$

Sehingga didapatkan:

$x'=2x$ $\rightarrow$ $x=\frac{1}{2}x'$ dan

$y'=2y$ $\rightarrow$ $y=\frac{1}{2}y'$

Lanjutkan dengan substitusi x dan y ke persamaan akhir:

$\begin{align*}x+3y+2 &=0 \\ \frac{1}{2}x'+3(\frac{1}{2}y')+2 &= 0\\  x'+3y'+4&=0 \\ x+3y+4 &= 0\end{align*}$

Semoga bermanfaat .