Soal Cerita Fungsi Komposisi
Soal nomor 1
Sebuah pabrik kertas dengan bahan dasar kayu pinus (x)
memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang
dapat menghasilkan kertas setengah jadi (y) dengan mengikuti fungsi $y=f(x)=-x^{2}+100x-2455$. Tahap kedua menggunakan mesin mesin II dengan
menambahkan bahan-bahan lain pembuat kertas sehingga menghasilkan kertas jadi
mengikuti fungsi $g(y)=2y–30$ dengan x dan y dalam satuan ton. Jika kayu
pinus yang tersedia untuk produksi kertas adalah 50 ton dan bahan-bahan tambahan
lainnya mencukupi, banyaknya kertas yang dapat diproduksi adalah ….
A. 75 ton
B. 70 ton
C. 60 ton
D. 55 ton
E. 45 ton
Pembahasan
Diketahui bahwa:
$\begin{align*}f(x) &= -x^{2}+100x-2455\\ g(y) &=2y-30 \end{align*}$
$f(x)$ sebagai tahap I dan $g(y)$ tahap II sehingga untuk menyelesaikan soal tersebut menggunakan fungsi komposisi $\left ( g\circ f \right )(x)$
$\begin{align*}(g\circ f)(x) &=g\left ( f(x) \right ) \\ &=2\left ( -x^{2}+100x-2455 \right )-30\\&=-2x^{2}+200x-4910-30 \\ &= -2x^{2}+200x-4940\end{align*}$
Kemudian diketahui bahwa pinus yang tersedia untuk produksi kertas adalah 50 ton, jadi kita eliminasikan 50 ton ke dalam fungsi $\left ( g\circ f \right )(x)$ tersebut
$\begin{align*}\left ( g\circ f \right )(50) &=-2(50)^{2}+200(50)-4940 \\ &=-5000+10000-4940 \\ &= 60\end{align*}$
Jadi banyak kertas yang diproduksi adalah 60 ton.
Soal nomor 2
Perusahaan pengolahan ikan laut memproduksi makanan ikan dalam kaleng melalui dua tahapan. Tahap pertama pemilihan daging ikan yangberkualitas tinggi dengan membuang bagian ikan yang tidak terpakai yang dapat dirummuskan oleh fungsi $y=f(x)=0,7x-6$ , selanjutnya tahapan kedua daging ikan yang terpilih dimasak dengan menambahkan bumbu-bumbu untuk menambah kelezatan ikan kalengan tersebut dengan persamaan fungsi $z=g(y)-\frac{1}{25}y^{2}+4y-42$ . Apabila pada bulan ini perusahaan menerima pasokan ikan dari nelayan sebanyak 80 ton, maka banyaknya ikan kalengan yang dapat diproduksi perusahaan tersebut adalah ....
A. 50 ton
B. 55 ton
C. 58 ton
D. 63 ton
E. 65 ton
Pembahasan
Diketahui bahwa :
$\begin{align*}y=f(x) &=0,7x-6 \\ g(y)&= -\frac{1}{25}y^{2}+4y-42\end{align*}$
$f(x)$ sebagai tahap I dan $g(y)$ tahap II sehingga untuk menyelesaikan soal tersebut menggunakan fungsi komposisi $\left ( g\circ f \right )(x)$
$\begin{align*}(g\circ f)(x) &= g(0,7x-6)\\ &= -\frac{1}{25}(0,7x-6)^{2}+4(0,7x-6)-42\end{align*}$
Untuk mempermudah perhitungan, kita tidak perlu menyederhanakan bentuk diatas melainkan langsung substitusikan jumlah pasokan ikan dari nelayan sebanyak 80 ton ke dalam persamaan $\left ( g\circ f \right )(x)$ yang sudah disusun diatas.
$\begin{align*}(g\circ f)(80) &= -\frac{1}{25}(0,7\times 80-6)^{2}+4(0,7\times 80-6)-42\\ &=-\frac{1}{25}(50)^{2}+4(50)-42 \\ &=-100+200-42 \\ &= 58\end{align*}$
Jadi banyaknya ikan kalengan yang dapat diproduksi perusahaan tersebut sebanyak 58 ton.
Soal nomor 3
Di PT. Merdeka seorang pekerja mendapatkan bonus bulanan yang besarnya dirumuskan sebagai fungsi dari gaji pokok dimana besarnya bonus tersebut adalah setengah gaji pokok ditambah Rp500.000,00. Berdasarkan situasi tersebut, buatlah :
a. Sebuah model matematika yang menyatakan besarnya gaji pokok seorang pekerja jika diketahui besar bonus yang diterimanya adalah y
b. besarnya gaji pokok seorang pekerja yang menerima bonus bulanan sebesar Rp1.150.000,00
Pembahasan
a) Menyusun model matematika
Diketahui bahwa :
g = gaji pokok
y = bonus
$\begin{align*}bonus &=\frac{1}{2}g+500.000 \\ y &=\frac{1}{2}g+500.000 \\ \frac{1}{2}g&= y-500.000\\ g &=2y-1.000.000 \end{align*}$
Jadi model matematika yang dapat di buat adalah $g(b)=2y-1.000.000$
b) besar gaji pokok
Diketahui bahwa besar bonus bulanan Rp1.150.000 sehingga untuk menghitung besar gaji pokok dengan cara substitusikan bonus bulanan ke model matematika.
$\begin{align*}g(b) &=2y-1.000.000 \\ g(1.150.000)&=2(1.150.000)-1.000.000 \\ &=2.300.000-1.000.000 \\ &= 1.300.000\end{align*}$
Jadi besar gaji pokoknya adalah Rp1.300.000,00