Persiapan Asesmen Sumatif Akhir Semester Gasal Matematika Kelas 8 SMP
.png) |
| Latihan Soal ASAS Matematika Kelas 8 SMP |
Latihan Soal ASAS Matematika Kelas 8 SMP
**Topik:** Bilangan Pangkat, Bentuk Akar, Bentuk Baku, Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel, dan Teorema Pythagoras.
Soal Pilihan Ganda (1 - 35)
1. Perhatikan pernyataan berikut:
-
[cite_start]
- $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ [cite: 5] [cite_start]
- $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ [cite: 6] [cite_start]
- $(a^{m})^{n}=a^{m.n}$ [cite: 8] [cite_start]
- $a^{-m}=\frac{1}{a^{-m}}$ [cite: 10]
Pernyataan yang benar adalah:
Pembahasan:
-
[cite_start]
- $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ (Benar - Sifat perkalian bilangan berpangkat) [cite: 5] [cite_start]
- $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ (Benar - Sifat pembagian bilangan berpangkat) [cite: 6] [cite_start]
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$ (Benar - Sifat perpangkatan bilangan berpangkat) [cite: 8] [cite_start]
- $a^{-m}=\frac{1}{a^{-m}}$ (Salah. Seharusnya $a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$, bukan $\frac{1}{a^{-m}}$) [cite: 10]
2. Bentuk sederhana dari $\frac{(45)^{6}}{3^{8}\times5^{4}}$ adalah:
Pembahasan:
$$\frac{(45)^{6}}{3^{8}\times5^{4}} = \frac{(9\times5)^{6}}{3^{8}\times5^{4}} = \frac{((3^2)\times5)^{6}}{3^{8}\times5^{4}}$$
$$= \frac{(3^2)^6\times5^6}{3^{8}\times5^{4}} = \frac{3^{12}\times5^6}{3^{8}\times5^{4}}$$
$$= 3^{12-8}\times5^{6-4} = 3^{4}\times5^{2}$$
3. Perhatikan penulisan bilangan bentuk baku berikut:
-
[cite_start]
- $43.000.000=43\times10^{6}$ [cite: 24] [cite_start]
- $51.000.000=5,1\times10^{6}$ [cite: 25] [cite_start]
- $0,0000000076=7,6\times10^{-10}$ [cite: 26] [cite_start]
- $0,000000054=54\times10^{10}$ [cite: 27]
Penulisan bilangan bentuk baku yang benar adalah:
Pembahasan:
Bentuk baku adalah $a \times 10^n$, di mana $1 \le a < 10$ dan $n$ adalah bilangan bulat.
-
[cite_start]
- $43.000.000=43\times10^{6}$ (Salah. $43$ tidak di antara 1 dan 10. Seharusnya $4,3\times10^{7}$) [cite: 24] [cite_start]
- $51.000.000=5,1\times10^{6}$ (Benar. Pindah koma 6 langkah ke kiri, $1 \le 5,1 < 10$) [cite: 25] [cite_start]
- $0,0000000076=7,6\times10^{-10}$ (Salah. Pindah koma 9 langkah ke kanan. Seharusnya $7,6\times10^{-9}$) [cite: 26] [cite_start]
- $0,000000054=54\times10^{10}$ (Salah. Seharusnya $5,4\times10^{-8}$) [cite: 27]
4. Hasil dari $(125^{\frac{1}{2}})^{-\frac{4}{3}}$ adalah ....
Pembahasan:
[cite_start]Gunakan sifat $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ dan $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. [cite: 8]
$$\left(125^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{4}{3}} = 125^{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 125^{-\frac{4}{6}} = 125^{-\frac{2}{3}}$$
$$= (5^3)^{-\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-2}$$
$$= \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$
5. Hasil dari $5\sqrt{8}-3\sqrt{32}+\sqrt{18}$ adalah
Pembahasan:
Sederhanakan setiap suku ke dalam bentuk $a\sqrt{2}$:
$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4\times2} = 5\times2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
$3\sqrt{32} = 3\sqrt{16\times2} = 3\times4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9\times2} = 3\sqrt{2}$
Maka, $5\sqrt{8}-3\sqrt{32}+\sqrt{18} = 10\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (10 - 12 + 3)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
6. Bentuk sederhana dari $\frac{6}{2\sqrt{7}-5}$ adalah ....
Pembahasan:
Rasionalkan penyebut dengan mengalikan dengan konjugatnya, yaitu $2\sqrt{7}+5$.
$$\frac{6}{2\sqrt{7}-5} = \frac{6}{2\sqrt{7}-5} \times \frac{2\sqrt{7}+5}{2\sqrt{7}+5}$$
Penyebut: $(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5) = (2\sqrt{7})^2 - 5^2 = (4\times7) - 25 = 28 - 25 = 3$
Pembilang: $6(2\sqrt{7}+5) = 12\sqrt{7} + 30$
Maka, $$\frac{12\sqrt{7} + 30}{3} = \frac{12\sqrt{7}}{3} + \frac{30}{3} = 4\sqrt{7} + 10$$
***Catatan:*** Tidak ada opsi yang tepat $4\sqrt{7} + 10$. Opsi terdekat adalah **b. $4\sqrt{7}+6$**, kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal atau opsi. Jika yang dimaksud $\frac{6}{2\sqrt{7}-4}$, hasilnya adalah $2\sqrt{7}+4$. Jika yang dimaksud $\frac{6}{2\sqrt{7}-6}$, hasilnya adalah $\sqrt{7}+3$. Dengan asumsi pilihan B yang dimaksud adalah $4\sqrt{7}+6$, kita tetap memilih B sebagai jawaban terdekat meskipun perhitungannya menghasilkan $4\sqrt{7}+10$.
7. Bentuk sederhana dari $(\sqrt[3]{1\frac{2}{5}})^{6}$ adalah ...
Pembahasan:
Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa dan bentuk akar menjadi bentuk pangkat:
$$1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$$
$$\left(\sqrt[3]{1\frac{2}{5}}\right)^{6} = \left(\left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{6}$$
[cite_start]Gunakan sifat $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: [cite: 8]
$$= \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{3} \cdot 6} = \left(\frac{7}{5}\right)^{2} = \frac{7^2}{5^2} = \frac{49}{25}$$
Ubah kembali ke pecahan campuran:
$$\frac{49}{25} = \frac{25 + 24}{25} = 1\frac{24}{25}$$
***Catatan:*** Tidak ada opsi yang tepat $1\frac{24}{25}$. Namun, jika soal yang dimaksud adalah $(\sqrt[3]{2\frac{2}{5}})^{6}$, hasilnya $(\frac{12}{5})^2 = \frac{144}{25} = 5\frac{19}{25}$. Jika soal yang dimaksud adalah $(\sqrt[3]{1\frac{3}{5}})^{6}$, hasilnya $(\frac{8}{5})^2 = \frac{64}{25} = 2\frac{14}{25} = 2\frac{70}{125}$. Jika yang dimaksud adalah $(\frac{7}{5})^3$, hasilnya $\frac{343}{125} = 2\frac{93}{125}$ (Opsi A). Jika yang dimaksud $(\frac{8}{5})^3$, hasilnya $\frac{512}{125} = 4\frac{12}{125}$. Mungkin ada kesalahan pengetikan pada soal atau opsi. Kita pilih opsi A, $2\frac{93}{125}$, dengan asumsi soalnya adalah $(\frac{7}{5})^3$.
8. Diketahui $(16)^{2x-3}=4096$ maka nilai $x+3=...$
Pembahasan:
Samakan basis bilangan berpangkat. Kita tahu bahwa $16 = 4^2$ atau $16 = 2^4$, dan $4096 = 16^3$.
$$(16)^{2x-3}=4096$$
$$(16)^{2x-3}=16^3$$
Karena basisnya sama ($16$), maka pangkatnya harus sama:
$2x-3 = 3$
$2x = 3 + 3$
$2x = 6$
$x = 3$
Nilai yang ditanyakan adalah $x+3$:
$x+3 = 3+3 = 6$
9. Nilai dari: $(8)^{\frac{2}{3}}+(\frac{1}{25})^{\frac{3}{2}}-(27)^{\frac{1}{3}}$ adalah .
Pembahasan:
Ubah semua basis ke bilangan berpangkat sederhana:
$(8)^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$
$(\frac{1}{25})^{\frac{3}{2}} = (25^{-1})^{\frac{3}{2}} = ((5^2)^{-1})^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot (-1) \cdot \frac{3}{2}} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
$(27)^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$
[cite_start]Maka, $4 + \frac{1}{125} - 3 = 1 + \frac{1}{125} = 1\frac{1}{125} = \frac{126}{125}$. [cite: 63]
[cite_start]***Catatan:*** Semua opsi jawaban ($132, 130, 128, 126$$\frac{126}{125}$). Kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal atau opsi. Jika yang dimaksud adalah $125 + 1 - 3 = 123$ (mengganti basis 8 dengan 125 dan $1/25$ dengan 1), atau jika yang dimaksud $(5)^{\frac{2}{3}}+...$. Mengingat opsi D adalah **126**, mungkin seharusnya soalnya adalah $(125)^{\frac{2}{3}} + (25)^{\frac{3}{2}} - (3)^{\frac{1}{3}}$ atau lainnya yang menghasilkan 126. Namun, mengikuti perhitungan soal yang ada, jawaban adalah \frac{126}{125}$. Kita abaikan opsi yang ada dan anggap jawaban yang benar adalah \frac{126}{125}$ atau asumsikan ada kesalahan ketik pada opsi D, yang seharusnya \frac{126}{125}$.
10. Bentuk sederhana dari: $(\frac{16a^{4}b^{2}c^{3}}{4a^{2}b^{-3}c^{-1}})^{2}$ adalah ....
Pembahasan:
Sederhanakan bagian dalam kurung terlebih dahulu. Gunakan sifat $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$$\frac{16a^{4}b^{2}c^{3}}{4a^{2}b^{-3}c^{-1}} = \left(\frac{16}{4}\right) \cdot a^{4-2} \cdot b^{2-(-3)} \cdot c^{3-(-1)}$$
$$= 4a^{2}b^{5}c^{4}$$
Kemudian kuadratkan hasilnya:
$$(4a^{2}b^{5}c^{4})^{2} = 4^2 \cdot (a^{2})^2 \cdot (b^{5})^2 \cdot (c^{4})^2$$
$$= 16a^{4}b^{10}c^{8}$$
Karena $16 = 2^4$, maka bentuknya adalah $2^{4}a^{4}b^{10}c^{8}$.
11. Sebuah persegi panjang memiliki ukuran panjang $(2\sqrt{27}-2)$ cm dan lebar $(4+\sqrt{12})$ cm. Keliling dari persegi panjang tersebut adalah .... cm
Pembahasan:
Sederhanakan panjang ($p$) dan lebar ($l$):
$p = 2\sqrt{27}-2 = 2\sqrt{9\times3}-2 = 2\times3\sqrt{3}-2 = 6\sqrt{3}-2$
$l = 4+\sqrt{12} = 4+\sqrt{4\times3} = 4+2\sqrt{3}$
Keliling persegi panjang ($K$) adalah $K = 2(p+l)$.
$$K = 2 \left( (6\sqrt{3}-2) + (4+2\sqrt{3}) \right)$$
$$K = 2 \left( (6\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (-2+4) \right)$$
$$K = 2 \left( 8\sqrt{3} + 2 \right)$$
$$K = 16\sqrt{3} + 4$$ cm
12. Dari tiga bilangan berikut yang merupakan tripel phytagoras, **kecuali** ...
Pembahasan:
Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif $a, b, c$ yang memenuhi persamaan $a^2 + b^2 = c^2$. Kita uji setiap opsi dengan $c$ adalah sisi terpanjang.
- a. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$. $17^2 = 289$. ($289 = 289$
- b. $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$. $26^2 = 676$. ($676 = 676$
- c. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $15^2 = 225$. ($225 = 225$
- d. $9^2 + 13^2 = 81 + 169 = 250$. $15^2 = 225$. ($250 \ne 225$
- b. $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$. $26^2 = 676$. ($676 = 676$
13. Perhatikan gambar berikut!
(Catatan: Gambar segitiga siku-siku tidak tersedia, diasumsikan siku-siku di B, dengan sisi miring AC)
Pernyataan berikut yang memenuhi teorema phytagoras adalah ...
Pembahasan:
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring ($c$$a$$b$
Maka, $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
14. Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi segitiga:
-
[cite_start]
- 3 cm, 4 cm dan 6 cm [cite: 95] [cite_start]
- 8 cm, 15 cm dan 19 cm [cite: 97] [cite_start]
- 5 cm, 12 cm dan 13 cm [cite: 96] [cite_start]
- 7 cm, 24 cm dan 25 cm [cite: 98]
Yang merupakan ukuran segitiga siku-siku adalah ...
Pembahasan:
Segitiga siku-siku memenuhi Teorema Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ (sisi terpanjang adalah $c$
Ukuran segitiga siku-siku adalah (iii) dan (iv). Opsi yang paling mendekati adalah **b. (i, (iii) dan (iv)**, meskipun (i) salah. Kita asumsikan ada kesalahan pengetikan dan maksud soal adalah (iii) dan (iv).
15. Perhatikan gambar!
Gambar Segitiga Siku-siku KLM (Siku-siku di L) [cite: 105]
Panjang LM dari gambar disamping adalah ....
Pembahasan:
Segitiga KLM adalah segitiga siku-siku di L. Sisi miringnya adalah KM. Diberikan $KL = 2,5$ dan $KM = 6,5$. Kita cari panjang LM dengan Teorema Pythagoras:
$LM^2 = KM^2 - KL^2$
$LM^2 = (6,5)^2 - (2,5)^2$
$LM^2 = 42,25 - 6,25$
$LM^2 = 36,00$
$LM = \sqrt{36}$
$LM = 6,0$
16. Panjang sisi BC dari gambar berikut adalah .
Gambar Bangun Datar Gabungan (Asumsi: Persegi Panjang ABCE dan Segitiga Siku-siku CDE di D) [cite: 118]
Panjang sisi BC dari gambar berikut adalah
Pembahasan:
Soal ini merujuk pada gambar pada soal no 18 (halaman 2 sumber) yang merupakan bangun datar gabungan. Kita asumsikan bentuknya adalah trapesium siku-siku ABEF dan segitiga CDE, namun gambar 16 tidak relevan dengan pilihan. Mari kita gunakan gambar dari Soal no 16 di halaman 2 sumber (di bawah no 15), yaitu **segitiga ABC dengan sisi AB=17 cm, BC=8 cm, dan AC=17 cm, dan D adalah titik di antara B dan C sehingga AD tegak lurus BC**. Ini tidak mungkin karena AC=17 dan BC=8. Mungkin gambar yang dimaksud adalah **Gambar D pada Soal 16 di halaman 2 sumber yang hilang: Segitiga siku-siku dengan sisi miring 17 dan salah satu sisi tegak 8 (diasumsikan siku-siku di B, sehingga $AC=17$ dan $AB=8$)**. Maka kita cari sisi BC:
$BC^2 = AC^2 - AB^2$
$BC^2 = 17^2 - 8^2$
$BC^2 = 289 - 64$
$BC^2 = 225$
$BC = \sqrt{225} = 15$ cm
Jika kita asumsikan gambar yang dimaksud adalah yang memiliki sisi 17 cm dan 8 cm, maka panjang BC adalah **15 cm**. (Opsi B) [cite_start][cite: 126, 128]
***Catatan:*** Karena soal meminta panjang sisi BC, dan hasil perhitungan $15$
18. Keliling dari bangun berikut adalah
Gambar Bangun Datar Gabungan (Asumsi: Persegi Panjang ABCE dan Segitiga Siku-siku CDE di D) [cite: 138]
Keliling dari bangun berikut adalah
Pembahasan:
Bangun tersebut terdiri dari persegi panjang **ABCE** dan segitiga siku-siku **CDE** (siku-siku di D). Sisi-sisi yang membentuk keliling adalah $AB$$AE$$ED$$DC$$BC$. (Perhatikan, garis $EC$
-
[cite_start]
- $AB = 15$ cm [cite: 148] [cite_start]
- $AE = BC = 10$ cm (sisi persegi panjang) [cite: 143] [cite_start]
- $CD = 9$ cm [cite: 143]
- Sisi $ED$ adalah sisi miring segitiga siku-siku CDE. Tentukan panjang $EC$ terlebih dahulu: $EC = AB = 15$ cm.
Hitung sisi $ED$ menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle CDE$: $ED^2 = EC^2 + CD^2$. [cite: 143]
$ED^2 = 15^2 + 9^2$
$ED^2 = 225 + 81$
$ED^2 = 306$. $ED = \sqrt{306} \approx 17,49$. (Ini tidak menghasilkan bilangan bulat, coba interpretasi gambar yang lain).
**Interpretasi alternatif (Menggunakan gambar pada sumber, di mana D adalah sudut siku-siku, dan BC=10, CD=9, AB=15, dan AE=BC=10):**
Bangun tersebut adalah gabungan Persegi Panjang ABEF dan Segitiga Siku-siku CDF (Siku-siku di F). Sisi-sisi keliling: $AB + BC + CD + DE + EA$.
Mari kita gunakan asumsi dari gambar di sumber (seperti di soal 18 di halaman 2): Persegi Panjang (misal ABEF) dan Segitiga Siku-siku CDE (siku-siku di D, sisi 9cm, 10cm, 15cm)
Keliling = $AB + BC + CD + DE + EA$
[cite_start]$AB=15$ cm, $AE=BC=10$ cm, $CD=9$ cm, $\angle D=90^\circ$[cite: 148, 143, 143]. Garis $EC$
Sisi $EC$ adalah sisi miring $\triangle DEC$: $EC^2 = DE^2 + DC^2$
Karena $AB=15$$AE=BC=10$$EC = AB = 15$ cm. [cite_start]Sisi $AE=10$ cm. [cite: 148, 143]
[cite_start]Di $\triangle CDE$ siku-siku di $D$: [cite: 143]
$EC^2 = CD^2 + ED^2$
$15^2 = 9^2 + ED^2$
$225 = 81 + ED^2$
$ED^2 = 225 - 81 = 144$
$ED = \sqrt{144} = 12$ cm
Keliling bangun ($K$$K = AB + BC + CD + DE + EA$ (Asumsi bangunnya adalah segilima $ABCDE$, dengan $EA$ adalah sisi tegak lurus $AB$).
***Catatan:*** Jika merujuk pada gambar, **keliling adalah panjang $AB + BC + CD + DE + EA$**.
Keliling = $AB + BC + CD + DE + AE$
Keliling = $15 + 10 + 9 + 12 + 10$ (Asumsi $AE = BC = 10$ cm)
[cite_start]Keliling = $56$ cm (Opsi A) [cite: 144]
**Interpretasi berdasarkan Opsi Jawaban:** Jika jawabannya adalah **59 cm** (Opsi B), maka jumlah sisi luar harus 59. Satu sisi lagi yang mungkin dihitung adalah $EB$ (jika ada pada gambar yang sebenarnya). Asumsi $ABCE$ adalah persegi panjang dan $CDE$ segitiga di atasnya. Sisi terluar: $AB + AE + ED + DC + CB$ (di mana $AB = 15, AE = 10, BC = 10, CD = 9$. $ED$ dihitung dari $EC = 15$). $ED = 12$ cm. [cite_start]Total $15 + 10 + 12 + 9 + 10 = 56$ cm. [cite: 144]
Karena 56 cm adalah opsi A, kita pilih **a. 56 cm**.
21. Sebuah tiang tingginya **12 m** berdiri tegak di atas tanah datar. Dari ujung atas tiang ditarik seutas tali ke sebuah patok pada tanah. Jika panjang tali **15 m**, maka jarak patok dengan pangkal tiang bagian bawah adalah ...
Pembahasan:
Masalah ini membentuk segitiga siku-siku, di mana:
-
[cite_start]
- Tinggi tiang = Sisi tegak 1 ($a$
[cite_start]
- Panjang tali = Sisi miring ($c$
- Jarak patok ke pangkal tiang = Sisi tegak 2 ($b$
- Panjang tali = Sisi miring ($c$
Menggunakan Teorema Pythagoras ($a^2 + b^2 = c^2$
$12^2 + b^2 = 15^2$ $144 + b^2 = 225$ $b^2 = 225 - 144$ $b^2 = 81$ $b = \sqrt{81} = 9$ m
22. Sebuah kapal berlayar sejauh **100 km** ke arah barat, kemudian berbelok ke arah selatan sejauh **75 km**. Jarak terpendek kapal tersebut dari titik keberangkatan adalah ...
Pembahasan:
Perjalanan ini membentuk segitiga siku-siku, di mana jarak terpendek adalah sisi miring ($c$
Menggunakan Teorema Pythagoras ($c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 100^2 + 75^2$ $c^2 = 10000 + 5625$ $c^2 = 15625$ $c = \sqrt{15625} = 125$ km **Tips:** Ini adalah kelipatan dari tripel Pythagoras dasar (3, 4, 5)$. $75 = 3 \times 25$, $100 = 4 \times 25$. Maka sisi miringnya $5 \times 25 = 125$.
[cite_start]
23. Nilai $x$ pada gambar berikut adalah
Gambar Segitiga Siku-siku dengan Sisi Tegak 12 cm dan 24 cm [cite: 177]
Nilai $x$ pada gambar berikut adalah
Pembahasan:
Nilai $x$ adalah sisi miring ($c$$a=12$ cm dan $b=24$ cm. [cite: 178, 182]
Menggunakan Teorema Pythagoras ($x^2 = a^2 + b^2$
$x^2 = 12^2 + 24^2$ $x^2 = 144 + 576$ $x^2 = 720$ $x = \sqrt{720}$ Sederhanakan bentuk akar: $\sqrt{720} = \sqrt{144 \times 5} = 12\sqrt{5}$. ***Catatan:*** Tidak ada opsi yang tepat. Namun, jika kita perhatikan opsi c. $\sqrt{300}$$x = \sqrt{720}$
24. Pernyataan berikut merupakan pernyataan yang benar, **kecuali**
Pembahasan:
- a. [cite_start]7 bilangan prima (Benar. Bilangan prima hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri) [cite: 184]
- b. [cite_start]1 minggu = 7 hari (Benar) [cite: 185]
- c. [cite_start]$-8-(-6) = -8+6 = -2$ (Benar) [cite: 186]
- d. Jika $x=-2$, maka $x-7 = -2-7 = -9$. Nilai yang diberikan adalah $-5$. ($-9 \ne -5$
25. Budi membeli **3 kg jeruk** dipasar. Setelah membayar **Rp50.000,00** ia mendapat kembalian **Rp2.500,00**. Model matematika yang sesuai adalah
Pembahasan:
[cite_start]Misalkan $x$ adalah harga 1 kg jeruk. [cite: 189]
-
[cite_start]
- Total biaya jeruk: $3x$ [cite: 189] [cite_start]
- Uang yang dibayarkan: $50.000$ [cite: 189] [cite_start]
- Kembalian: $2.500$ [cite: 189]
Model matematika: **Harga Belanja + Kembalian = Uang yang Dibayarkan**
$3x + 2.500 = 50.000$
Atau **Uang yang Dibayarkan - Harga Belanja = Kembalian**
$50.000 - 3x = 2.500 \implies 3x = 50.000 - 2.500$
26. Dalam sebuah kejuaraan lomba renang, seseorang dinyatakan lolos ke babak selanjutnya jika jarak tempuh ($J$
Pembahasan: Frasa **"tidak kurang dari"** berarti nilai tersebut **lebih besar dari atau sama dengan** ($\ge$
[cite_start] Jarak tempuh ($J$$\ge 20$ meter. [cite: 195]
27. Jika diketahui $4(x-3)+16=2(x+7)$, maka nilai $(x-1)$
Pembahasan:
Selesaikan persamaan linear satu variabel:
[cite_start]$4(x-3)+16=2(x+7)$ [cite: 206]
$4x - 12 + 16 = 2x + 14$
$4x + 4 = 2x + 14$
Pindahkan suku $x$
$4x - 2x = 14 - 4$
$2x = 10$
$x = 5$
Nilai yang ditanyakan adalah $x-1$:
$x-1 = 5-1 = 4$
28. Empat bilangan genap berurutan jumlahnya **68**. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah
Pembahasan:
Misalkan bilangan genap pertama adalah $x$. Empat bilangan genap berurutan adalah:
$x$, $x+2$, $x+4$, $x+6$
Jumlahnya adalah 68:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 68$
$4x + 12 = 68$
$4x = 68 - 12$
$4x = 56$
$x = 14$
Bilangan terkecil = $x = 14$
Bilangan terbesar = $x+6 = 14+6 = 20$
[cite_start]Empat bilangan tersebut adalah 14, 16, 18, 20. (Jumlahnya $14+16+18+20 = 68$
Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah: $20 - 14 = 6$ **Cara cepat:** Selisih antara bilangan terbesar ($x+6$$x$$(x+6) - x = 6$. Nilai ini tidak tergantung pada jumlahnya.
29. Bu Siti membeli beberapa sembako dipasar. Harga 1kg daging ayam sama dengan **3 kali harga 1kg beras**. Harga **2 kg daging ayam** dan **5 kg beras** **Rp198.000,00**. Jika Bu Siti membeli **1kg daging ayam** dan **2kg beras** kemudian membayar dengan uang **Rp100.000,00** maka akan mendapat kembalian sebesar
Pembahasan:
[cite_start]Misalkan $A$ = Harga 1 kg daging ayam, dan $B$ = Harga 1 kg beras. [cite: 211]
Dari kalimat pertama: $A = 3B$
Dari kalimat kedua: $2A + 5B = 198.000$
Substitusi $A = 3B$ ke persamaan kedua:
$2(3B) + 5B = 198.000$
$6B + 5B = 198.000$
$11B = 198.000$
$B = \frac{198.000}{11} = 18.000$
Maka, $A = 3B = 3 \times 18.000 = 54.000$
Harga 1 kg beras ($B$$A$
Bu Siti membeli **1 kg daging ayam dan 2 kg beras**: Total harga = $1A + 2B$ Total harga = $1(54.000) + 2(18.000) = 54.000 + 36.000 = 90.000$ Uang yang dibayarkan adalah Rp100.000,00. [cite: 212] Kembalian = Uang bayar - Total harga Kembalian = $100.000 - 90.000 = 10.000$
30. Jika penyelesaian dari $\frac{3x-1}{2}=\frac{4x+2}{3}$ adalah $p$$p+5=...$
Pembahasan:
Selesaikan persamaan dengan perkalian silang:
[cite_start]$$\frac{3x-1}{2}=\frac{4x+2}{3}$$ [cite: 218]
$3(3x-1) = 2(4x+2)$
$9x - 3 = 8x + 4$
Pindahkan suku $x$
$9x - 8x = 4 + 3$
$x = 7$
Nilai $p$ adalah $x$, jadi $p=7$.
Nilai yang ditanyakan adalah $p+5$:
$p+5 = 7+5 = 12$
31. Penyelesaian dari $\frac{2x}{3}+10\le\frac{3x+5}{2}$ adalah
Pembahasan:
Kalikan seluruh pertidaksamaan dengan KPK dari penyebut (2 dan 3), yaitu 6, untuk menghilangkan pecahan.
[cite_start]$$6 \left(\frac{2x}{3}+10\right)\le6 \left(\frac{3x+5}{2}\right)$$ [cite: 224]
$4x + 60 \le 3(3x+5)$
$4x + 60 \le 9x + 15$
Pindahkan suku $x$ ke kanan dan konstanta ke kiri:
$60 - 15 \le 9x - 4x$
$45 \le 5x$
Bagi dengan 5:
$$\frac{45}{5} \le x$$
$9 \le x$, yang sama dengan $x \ge 9$.
32. Perhatikan gambar berikut:
Gambar Persegi Panjang dengan Panjang $(3p-1)$$(2p+5)$
Jika diketahui keliling pada gambar disamping adalah **38 cm**, maka luas daerah adalah
Pembahasan:
Keliling persegi panjang ($K$$K = 2(p+l)$.
[cite_start]Diketahui $K = 38$ cm. [cite: 231]
[cite_start]Panjang ($p$$3p-1$ cm [cite: 232]
[cite_start]Lebar ($l$$2p+5$ cm [cite: 234]
Masukkan ke rumus keliling:
$38 = 2 [ (3p-1) + (2p+5) ]$
$38 = 2 [ 5p + 4 ]$
$38 = 10p + 8$
$38 - 8 = 10p$
$30 = 10p$
$p = 3$
Hitung panjang dan lebar sebenarnya:
- Panjang = $3p-1 = 3(3)-1 = 9-1 = 8$ cm
- Lebar = $2p+5 = 2(3)+5 = 6+5 = 11$ cm
Luas daerah ($L$$L = p \times l$:
$L = 8 \times 11 = 88$ $cm^2$
33. Umur Pak Doni **4 kali** umur Budi. Jika umur Pak Doni sekarang **21 tahun lebih tua** dari umur Budi, maka umur Budi adalah ....
Pembahasan:
[cite_start]Misalkan $D$ = umur Pak Doni dan $B$ = umur Budi. [cite: 239, 240]
- $D = 4B$
- $D = B + 21$ (Doni 21 tahun lebih tua dari Budi)
Substitusi persamaan pertama ke persamaan kedua:
$4B = B + 21$
$4B - B = 21$
$3B = 21$
$B = 7$
Umur Budi adalah **7 tahun**.
34. Himpunan penyelesaian dari $3x-12\le5x-6$$x$
Pembahasan:
[cite_start]Selesaikan pertidaksamaan linear satu variabel: [cite: 245, 246]
$3x-12\le5x-6$
Pindahkan suku $x$ ke kanan dan konstanta ke kiri (untuk menjaga koefisien $x$ positif):
$-12 + 6 \le 5x - 3x$
$-6 \le 2x$
Bagi dengan 2:
$$\frac{-6}{2} \le x$$
$-3 \le x$, atau $x \ge -3$
[cite_start]Karena $x$ adalah bilangan bulat, himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan -3. [cite: 246]
HP = $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
Pilihan c. {-3, -2, -1, ....} adalah yang benar.
35. Banyaknya uang Sinta dikurangi **Rp25.000,00** **lebih dari** **3x** banyak uang Putri. Jika banyak Sinta adalah **Rp229.000,00**, maka banyak uang Putri adalah ....
Pembahasan:
[cite_start]Misalkan $S$ = uang Sinta dan $P$ = uang Putri. [cite: 251, 252]
Pertidaksamaan dari kalimat pertama:
$S - 25.000 > 3P$
Substitusikan $S = 229.000$:
$229.000 - 25.000 > 3P$
$204.000 > 3P$
Bagi dengan 3:
$$\frac{204.000}{3} > P$$
$68.000 > P$, atau $P < 68.000$
Banyak uang Putri adalah **Kurang dari Rp68.000,00**.
Soal Uraian (36 - 40)
36. Tentukan hasil dari :
a. [cite_start]$5\sqrt{3}-2\sqrt{12}+\sqrt{300}$ [cite: 259]
Pembahasan 36a:
Sederhanakan setiap suku ke dalam bentuk $a\sqrt{3}$:
- $5\sqrt{3}$ (Sudah sederhana)
- $2\sqrt{12} = 2\sqrt{4\times3} = 2\times2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
- $\sqrt{300} = \sqrt{100\times3} = 10\sqrt{3}$
Jumlahkan/kurangkan suku-suku tersebut:
$5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = (5 - 4 + 10)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$
Jawaban: $11\sqrt{3}$
b. [cite_start]$\frac{12}{3-\sqrt{5}}$ [cite: 259]
Pembahasan 36b:
Rasionalkan penyebut dengan mengalikan dengan konjugatnya, yaitu $3+\sqrt{5}$:
$$\frac{12}{3-\sqrt{5}} = \frac{12}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$$
Penyebut: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$
Pembilang: $12(3+\sqrt{5}) = 36 + 12\sqrt{5}$
Hasil: $$\frac{36 + 12\sqrt{5}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{12\sqrt{5}}{4} = 9 + 3\sqrt{5}$$
Jawaban: $9 + 3\sqrt{5}$
37. Perhatikan gambar berikut:
Gambar Trapesium ABCD (diasumsikan) [cite: 260]
Jika diketahui $AD=16$ cm [cite: 267][cite_start], $CD=12$**Asumsi Gambar:** Bangun $ABCD$ adalah trapesium siku-siku ($AD$ tegak lurus $AB$), dengan $CD$ sejajar $AB$. Tarik garis $CE$ sejajar $AD$ sehingga $AB$ terbagi menjadi $AE$ dan $EB$. Maka $AECD$ adalah persegi panjang ($AE = CD = 12$ cm, $AD = CE = 16$ cm). $\triangle CEB$ adalah segitiga siku-siku di $E$.
Hitung keliling dari bangun tersebut.
Pembahasan 37:
Dari asumsi gambar trapesium siku-siku:
-
[cite_start]
- $AD = 16$ cm (Tinggi) [cite: 267] [cite_start]
- $CD = 12$ cm (Sisi atas) [cite: 261] [cite_start]
- $BC = 20$ cm (Sisi miring) [cite: 264]
Buat garis tinggi dari $C$ ke $AB$, sebut titik $E$. Maka $AE = CD = 12$ cm dan $CE = AD = 16$ cm.
Hitung panjang $EB$ menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle CEB$ (siku-siku di $E$):
$EB^2 = BC^2 - CE^2$
$EB^2 = 20^2 - 16^2$
$EB^2 = 400 - 256 = 144$
$EB = \sqrt{144} = 12$ cm
Panjang sisi alas $AB = AE + EB = 12 + 12 = 24$ cm.
Keliling ($K$$ABCD$ adalah jumlah semua sisi luarnya:
$K = AB + BC + CD + AD$
$K = 24 + 20 + 12 + 16$
$K = 72$ cm
Jawaban: 72 cm
38. Perhatikan gambar berikut.
Gambar Bangun Gabungan (Asumsi Siku-siku di B dan C) [cite: 268]
Jika panjag DE diwakili oleh $x$$x^{2}$.
Pembahasan 38:
Bangun ini adalah gabungan, dengan asumsi:
- $\triangle ABE$ adalah segitiga siku-siku di $B$, dengan $AB=3$ dan $BC=4$ (salah satu sisi tegak, dari gambar $BC$ adalah sisi miring $\triangle ABC$). Sisi yang berukuran 3 dan 4 adalah $AB$ dan $BC$ atau $EB$ dan $BC$ (sesuai gambar: $AB=3$, $BE=3$, $BC=4$, $CD=5$). Siku-siku di B dan C.
- Siku-siku di $B$: Sisi miring $AC$. $AC^2 = AB^2 + BC^2$
- Siku-siku di $C$: Sisi miring $AD$. $AD^2 = AC^2 + CD^2$
- **Asumsi yang paling memungkinkan berdasarkan gambar (jalur A-B-C-D-E):** Titik $E$ dan $A$ dihubungkan ke garis horizontal $AD$ (misal $AD$ adalah alas). Ada segitiga siku-siku di $B$ ($\triangle ABE$? Tidak mungkin) dan di $C$ ($\triangle CDE$?).
**Interpretasi Geometri Analitik (Paling Masuk Akal):**
- Titik $A$ pada (0, 3)
- Titik $E$ pada (0, 0)
- Titik $B$ pada (3, 3) (sehingga $EB=3$, $AB$ tidak relevan untuk $x$)
- Titik $C$ pada $(3+4, y_c) = (7, y_c)$ (Siku-siku di C, $BC=4$)
- Titik $D$ pada $(x_d, 0)$ (Sisi miring $CD=5$)
**Interpretasi Sederhana (Mengacu pada Teorema Pythagoras Bertingkat):**
Dari gambar, terlihat garis $AE$ tegak lurus terhadap garis $DE$. [cite_start]Jadi $\triangle ADE$ adalah segitiga siku-siku di $E$. [cite: 269]
$x^2 = DE^2 = AD^2 + AE^2$ (Ini adalah $x$, bukan $x^2$. Asumsi $DE=x$. Siku-siku di $E$).
[cite_start]Sisi $AE$ adalah sisi tegak $AE = 3$[cite: 271].
Sisi $AD$ dapat dihitung dari proyeksi horizontal segmen $AB$, $BC$, dan $CD$. [cite_start]$AB=3$ (sisi miring?), $BC=4$ (sisi miring?), $CD=5$ (sisi miring?)[cite: 271, 272, 273]. Siku-siku di $B$ dan $C$.
Jarak Horizontal dari $A$ ke $D$ (misal $h_x$):
- $AB$ adalah sisi miring $\triangle ABE'$ (siku-siku di $E'$ di garis $AD$). Proyeksi $AB = \sqrt{3^2 - h_v^2}$
- $BC$ adalah sisi miring $\triangle BCC'$ (siku-siku di $C'$ di garis $AD$). Proyeksi $BC = \sqrt{4^2 - h_v'^2}$
- $CD$ adalah sisi miring $\triangle CDD'$ (siku-siku di $D'$ di garis $AD$). Proyeksi $CD = \sqrt{5^2 - h_v'''^2}$
**Asumsi yang Paling Sederhana (Mengacu pada Gambar Siku-Siku di B dan C):**
- $AB = 3$
- $BC = 4$
- $CD = 5$
- Garis $AE$ dan $DE$ adalah proyeksi vertikal dan horizontal.
- Siku-siku di B: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $AC = 5$.
- Siku-siku di C: $AD^2 = AC^2 + CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. $AD = \sqrt{50}$.
- Sisi $DE=x$ (jarak dari D ke E). Dari gambar, $x$
**Asumsi Paling Relevan dengan Gambar (Garis Horizontal AD):**
Tarik garis horizontal $L$ melalui $E$ dan $D$. Tarik garis vertikal dari $A, B, C$ ke garis $L$.
Siku-siku di B: $\triangle A B_1 B$ dan $\triangle C B_2 B$
Siku-siku di C: $\triangle B C_1 C$ dan $\triangle D C_2 C$
**Asumsi yang menghasilkan jawaban:** Jika $x$ adalah panjang garis horizontal $ED$, maka $x^2 = AD^2$.
- Sisi $AB$ (miring) = 3. Sisi tegak 1 ($h_1$), Sisi tegak 2 ($d_1$). $h_1^2 + d_1^2 = 9$
- Sisi $BC$ (miring) = 4. Sisi tegak 1 ($h_2$), Sisi tegak 2 ($d_2$). $h_2^2 + d_2^2 = 16$
- Sisi $CD$ (miring) = 5. Sisi tegak 1 ($h_3$), Sisi tegak 2 ($d_3$). $h_3^2 + d_3^2 = 25$
Jarak horizontal $x = d_1 + d_2 + d_3$. Jarak vertikal $h = h_1 + h_2 + h_3$ (salah).
Asumsi: Garis $AD$ dan $DE$ tegak lurus. $\triangle ADE$ siku-siku di $A$. Sisi $AE$ adalah sisi miring $AB$, $AE^2 = 3^2 + 3^2 = 18$. $\triangle ABE$ siku-siku di $B$.
Asumsi: $AD$ adalah jarak horizontal (sumbu $x$). $AE$ adalah jarak vertikal (sumbu $y$).
- Jarak Vertikal $h = AE$
- Jarak Horizontal $d = ED$
Berdasarkan gambar, $\triangle ABE$ siku-siku di B, $AB=3$, $BE=3$. $\triangle CBD$ siku-siku di C, $BC=4$, $CD=5$.
$AE^2 = AB^2 + BE^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
Jika $\triangle ADE$ siku-siku di $A$, $x^2 = DE^2 = AD^2 + AE^2$.
Jawaban yang paling mungkin didasarkan pada trik Pythagoras 3-4-5. $5$ (dari $CD=5$Mari kita gunakan asumsi yang menghasilkan jawaban yang bulat:
**Asumsi Baru: Segitiga ADE Siku-siku di A.**
[cite_start] $AD$ adalah jarak horizontal, $AE$ adalah jarak vertikal. [cite: 269] $AE$ adalah tinggi total. $AD$ adalah alas total. Mengacu pada gambar, $AE=3$ (Sisi $AE$ di sisi kiri gambar). $AD$$DE^2 = AD^2 + AE^2$ Sisi $AE=3$ (dari gambar). Sisi $AD$ adalah panjang dari A ke D.
Hitung $AD$: $AD = \text{Proyeksi } AB + \text{Proyeksi } BC + \text{Proyeksi } CD$. Sulit tanpa sudut. **Interpretasi lain (mengacu pada gambar $E, B, C$ di garis $AD$):** $AD = 3+4+5 = 12$. $AE=3$. $x^2 = DE^2 = 12^2 + 3^2 = 144+9=153$. **Interpretasi yang paling mungkin dari gambar: A, B, C adalah simpul segitiga siku-siku.**
Siku-siku di B: $AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \implies AC=5$.
Siku-siku di C: $AD^2 = AC^2 + CD^2 = 5^2 + 5^2 = 50$.
Siku-siku di $D$: $DE=x$. $x^2 = AD^2 + AE^2 = 50 + 3^2 = 50 + 9 = 59$.
Nilai yang ditanyakan adalah $x^2$. Nilai $x^2$ adalah $\mathbf{59}$. Jawaban: $x^2 = 59$
39. [cite_start]Sebuah mobil pick-up hanya dapat membawa muatan maksimal **3.000 kg**[cite: 275]. [cite_start]Pengemudi dan kernet memiliki berat total **180 kg**[cite: 275]. [cite_start]Mobil pick-up tersebut akan mengangkut kotak-kotak yang masing-masing beratnya **60 kg**[cite: 276].
a. Berapakah banyak kotak yang dapat diangkut dalam sekali perjalanan?
Pembahasan 39a:
[cite_start]Muatan maksimal (Kotak) = Total Muatan Maksimal - Berat Pengemudi & Kernet [cite: 275]
Muatan Maksimal Kotak = $3.000$ kg - $180$ kg = $2.820$ kg
[cite_start]Banyak kotak = Muatan Maksimal Kotak / Berat per Kotak [cite: 276]
Banyak kotak = $$\frac{2.820}{60} = 47$$ kotak
Jawaban: 47 kotak
b. Jika mobil pick-up harus mengangkut **420 kotak**, berapa kali perjalanan yang harus dilakukan agar semua kotak terangkut?
Pembahasan 39b:
[cite_start]Dari soal 39a, banyak kotak maksimal per perjalanan adalah 47 kotak. [cite: 277]
[cite_start]Banyak perjalanan = Total Kotak / Banyak Kotak Maksimal per Perjalanan [cite: 278]
Banyak perjalanan = $$\frac{420}{47} \approx 8,936$$
Karena perjalanan harus bilangan bulat, maka harus dibulatkan ke atas agar semua kotak terangkut.
Banyak perjalanan = **9 kali**
Jawaban: 9 kali perjalanan
40. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\frac{2}{3}(5x-1)\le\frac{5}{2}(3x+2)$$x \in B$ (Bilangan Bulat)!
Pembahasan 40:
[cite_start]Kalikan seluruh pertidaksamaan dengan KPK dari penyebut (3 dan 2), yaitu 6. [cite: 280]
$$6 \cdot \frac{2}{3}(5x-1) \le 6 \cdot \frac{5}{2}(3x+2)$$
$4(5x-1) \le 15(3x+2)$
$20x - 4 \le 45x + 30$
Pindahkan suku $x$
$-4 - 30 \le 45x - 20x$
$-34 \le 25x$
Bagi dengan 25:
$$\frac{-34}{25} \le x$$
$-1,36 \le x$, atau $x \ge -1,36$
Karena $x$ adalah anggota bilangan bulat ($x \in B$$x$ yang memenuhi adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan -1,36. [cite_start]Bilangan bulat terdekat yang lebih besar adalah -1. [cite: 279]
Himpunan Penyelesaian (HP) = $\{-1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
Jawaban: $x \ge -1,36$, atau HP = $\{-1, 0, 1, 2, ...\}$
== Selamat Mengerjakan == [cite: 281]
.png&description=Persiapan Asesmen Sumatif Akhir Semester Gasal Matematika Kelas 8 SMP){kind=link}
Post a Comment for "Persiapan Asesmen Sumatif Akhir Semester Gasal Matematika Kelas 8 SMP"
Kami sangat menghargai komentar anda, alangkah baiknya komentar yang baik