LOGIKA MATEMATIKA

A. PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN 

• Pernyataan, Bukan pernyataan ,Kalimat Terbuka dan Ingkaran Pernyataan

Pernyataan : kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja tapi tidak keduanya.

Bukan Pernyataan : kalimat yang tidak memiliki nilai benar dan salah.

Kalimat Terbuka : kalimat yang memuat variable, dan akan menjadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan konstanta.

Contoh :

 1. Tiga adalah bilangan genap [ pernyataan yang salah ]

 2. Dua adalah bilangan prima [pernyataan yang benar ]

 3. Rudi memakai kaca mata [bukan pernyataan ]

 4. Indah betul pemandangan itu. [ bukan pernyataan ]

 5. x + 2 = 5 [kalimat terbuka ]

 6. x  - x – 6 = 0 [kalimat terbuka ]

 

• Ingkaran atau Negasi suatu Pernyataan [~ ]

Negasi adalah suatu pernyaan baru yang dikonstruksikan dari pernyataan semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernyataan semula benar.Ingkaran P dilambangkan ~

Tabel kebenaran Negasi

    

 

Contoh :

            P  : 2 + 3 = 5 ( pernyataan yang benar )

            ~p : 2 + 3 ≠ 5 ( pernyataan yang salah ) 

B. PERNYATAAN MAJEMUK 

• KONJUNGSI (dan)

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan kata penghubung “ dan “

Disimbolkan “ ^ “ dibaca “ dan “

Pernyataan “ p ^ q “ dibaca “ p dan q “

Tabel kebenaran konjungsi

 

Kesimpulan : Pernyataan majemuk dengan operasi konjungsi bernilai benar bila kedua pernyataan ( p atau q ) keduanya bernilai benar.

Contoh :

1. 2 + 3 ≠ 5 dan 1 bilangan prima kebenaran S ^ S = S
2. 3 > 2 dan 2 bilangan prima nilai kebenaran B ^ B = S
3. 5 bilangan ganjil dan 3 bilangan genap nilai kebenaran ( B^S ) = S

• DISJUNGSI (atau)

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan kata penghubung “ atau “

Disimbolkan “ v “ dibaca “ atau “

Pernyataan “ p v q “ dibaca “p atau q “

Tabel kebenaran konjungsi

 

 

Kesimpulan  : Pernyataan majemuk dengan operasi konjungsi bernilai benar bila kedua pernyataan ( p atau q ) keduanya bernilai benar.

Contoh :

1. 2 + 4 = 10 atau 2 bilangan genap nilai kebenaran S v B = B
2. 3 faktor dari 7 atau 3 faktor dari 10 nilai kebenaran S v S = S
3. 2 + 3 = 5 atau 1 + 3 < 5 nilai kebenaran B v S = B

• IMPLIKASI (jika ... maka ...)

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan penghubung “jika….maka…” disimbolkan “ => “ dibaca “ jika…maka…”

Pernyataan “p => q” dapat dibaca “ jika…maka…”

p = anteseden

q = konsekuen

Implikasi  p => q dapat juga dibaca :

• p hanya jika q
• q jika p
• p syarat cukup bagi q
• q syarat perlu bagi p

Tabel kebenaran implikasi :

 

Kesimpulan : Pernyataan majemuk dengan operasi implikasi benilai salah apabila anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah.

Contoh :

1. Jika 2 + 4 = 6, maka 2 bilangan genap nilai kebenaran B => B = B
2. Jika 3 bilangan prima, maka 3 faktor dari 8 nilai kebenaran  B => S = S
3. Jika 2 + 1 < 3, maka bilangan prima nilai kebenaran S => B = B

• BIIMPLIKASI (... jika dan hanya jika ...)

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata penghubung “ …jika dan hanya jika …”

disimbolkan “…<=> …”  Pernyataan “ p ó q “ dibaca “ p jika dan hanya jika q”

Tabel  kebenaran biimplikasi :

Kesimpulan : Pernyataan majemuk dengan operasi biimplikasi bernilai benar apabila pernyataan awal ( p ) dan pernyataan akhir ( q ) bernilai sama.

Contoh :

1. 2+1 ≠ 3 jika dan hanya jika 2+ 1 > 1 nilai kebenaran S ó B = S
2. 3 bilangan prima ó 3+1 ≠ 2 nilai kebenaran B ó S = S
3. Solo kota budaya  ó Solo terletak di Jawa Tengah  B ó B = B 

 

C. NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK 

Negasi Pernyataan Majemuk terdiri dari :

• Disjungsi              : ~(p^q) = ~pv~q
• Konjungsi            : ~(pvq) = -p ^ -q
• Implikasi              :  ~(p=>q) = p^ -q
• Biimplikasi           :  ( p^ -q) v(q^ -p)

Contoh:

Tentukan Negasi dari:

1. Hari ini hujan dan udara dingin
2. Rini pergi ke Jakarta atau pergi ke Bandung.
3. Jika 2+3>4 maka 4= 2²
4. Ulangan di batalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti.

Jawab:

1. Negasinya: Hari ini tidak hujan atauudara tidak dingin.
2. Negasinya: Rini tidak pergi ke Jakarta dan tidak pergi ke bandung.
3. Negasinya: 2+3>4 dan 4≠ 2².
4. Negasinya: Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau diadakan kerjabakti dan ulangan tidak dibatalkan.

 

D. INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI

Dari suatu implikasi p=>q dapat dibentuk implikasi lain yaitu:

• Konvers       :   q => p
• Invers           :   ~p => ~q
• Kontraposisi : ~q => ~p

Tabel kebenarannya :

 

 

 

Contoh:

Tentukan kovers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut:

     a. Jika hari hujan maka udara dingin.

     b. ~p => (p v ~q)

          Jawab:

a. Konvers           : Jika udara dingin maka hari hujan.

    Invers              : Jika hari tidak hujan maka udara tidak dingin.

    Kontraposisi    : Jika udara tidak dingin maka hari tidak hujan.

b. Konvers           : (p v ~q) => ~p

    Invers              : p => (~p ^ q)

    Kontraposisi   : (~p ^ q) => p 

E. PENARIKAN KESIMPULAN 

Syarat dalam menarik kesimpulan dikatakan sah jika merupakan tautologi (benar semua). Ada 3 cara dalam menarik kesimpulan, yaitu :

• Modus Ponens 

Untuk melakukan proses pengecekan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens, kalian dapat melihat tabel kebenaran berikut ini :

 

Dengan melihat tabel diatas, kolom terakhir bernilai BENAR semua, maka dapat disimpulkan bahwa penarikan kesimpulan dengan modus ponen adalah SAH. 

contoh :

Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka jalan becek

Premis 2 : Hari ini hujan

Kesimpulan : Jalan becek 

• Modus Tolens 

Untuk melakukan proses pengecekan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens, kalian dapat melihat tabel kebenaran berikut ini :

 

Dengan melihat tabel diatas, kolom terakhir bernilai BENAR semua, maka dapat disimpulkan bahwa penarikan kesimpulan dengan modus ponen adalah SAH. 

contoh : 

 Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka jalan becek 

 Premis 2 : Jalan tidak becek 

 Kesimpulan : Hari ini tidak hujan 

 

•  Silogisme 

Untuk melakukan proses pengecekan kesimpulan dengan menggunakan silogisme, kalian dapat melihat tabel kebenaran berikut ini :

 

Dengan melihat tabel diatas, kolom terakhir bernilai BENAR semua, maka dapat disimpulkan bahwa penarikan kesimpulan dengan modus ponen adalah SAH. 

contoh : 

 Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka jalan becek 

 Premis 2 : Jika jalan becek maka pengendara hati-hati

 Kesimpulan : Jika Hari ini hujan, maka pengendara hati-hati