Barisan dan Deret Aritmatika [Rumus dan contoh soal serta pembahasan]

barisan dan deret aritmatika

mathcyber.my.id - sering kali kita menghadapi sebuah soal mengenai barisan dan deret yang kita tidak bisa untuk menyelesaikan karena kurangnya latihan soal yang kita kerjakan. 

Apakah kalian paham tentang perbedaan antara barisan dan deret aritmatika? jika kita melihat sebuah soal bagaimana cara kita tahu bahwa soal tersebut termasuk dalam barisan atau deret aritmatika?

Barisan dan Deret Aritmatika

Perlu kalian ketahui bahwa perbedaan yang paling mendasar antara barisan dan deret terletak pada tanda pemisahnya. Misalnya 3, 5, 7, 9, .... dan 3 + 5 + 7 + 9 + .... dapat dikatakan bahwa yang merupakan barisan aritmatika adalah dengan tanda pemisah koma sedangkan deret dengan tanda pemisah plus (tambah)

Rumus Barisan dan Deret Aritmatika

Rumus menghitung besar suku ke-n

• $Un=a+\left ( n-1 \right ).b$

Rumus menentukan beda (selisih)

• $b=U_{n}-U_{n-1}$

Rumus menentukan jumlah suku ke-n

• $Sn=\frac{n}{2}\left ( a+Un \right )$ atau $Sn=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1).b \right )$

dengan :

$\begin{align*}a &= suku\; pertama\\ b &=beda\; (selisih) \\ n &=banyak\: suku \end{align*}$

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal barisan dan deret aritmatika yang disertai dengan pembahasannya, semoga dapat membantu kalian dalam memahami barisan dan deret aritmatika. 

Soal nomor 1

Suatu barisan aritmatika diketahui besar suku ke 7 sama dengan empat kali suku pertama dan suku ke 5 enam lebihnya dari suku ke 3. Tentukan besar suku ke-25.

Penyelesaian

suku ke-7 = $U_{7}$

suku pertama = $U_{1}$ = a

suku ke-5 = $U_{5}$

suku ke-3 = $U_{3}$

Dari soal diketahui bahwa $U_{7}=4.a$ dan $U_{5}=6+U_{3}$

• $\begin{align*}U_{7} &=4a \\  a+6b&=4a \\  6b&=4a-a \\  6b&= 3a\\  2b&=a\rightarrow pers.(1) \end{align*}$

Cari nilai b dari $U_{5}=6+U_{3}$

• $\begin{align*}U_{5} &=6+U_{3} \\ a+4b &=6+a+2b \\ a+4b-a-2b &=6 \\ 2b &=6 \\ b &=3 \\ \end{align*}$

Setelah ketemu nilai b, carilah nilai a dengan substitusi ke persamaan 1

• $\begin{align*}a &= 2b\\  &= 2(3)\\  &= 6\end{align*}$

Jadi, besar suku ke-25 dapat dihitung dengan cara:

$\begin{align*}U_{25} &=a+24b \\  &=6+24.3 \\  &=6+72 \\  &= 78\end{align*}$

Soal nomor 2

Jumlah semua bilangan asli antara 23 dan 175 yang habis dibagi 6 adalah...

 

Penyelesaian

• Bilangan asli yang merupakan kelipatan 6 / habis dibagi 6 adalah : 6, 12, 18, 24, 30, ..... 174, 180
• Karena kita akan menghitung jumlah bilangan yang habis dibagi 6 antara 23 dan 175 artinya bilangan terkecilnya adalah 24 [sebagai suku pertama] dan suku terbesarnya adalah 174 [suku terakhir]
• Untuk menghitung jumlah bilangan asli antara 23 dan 175 yang habis dibagi 6 sebelumnya kita cari dulu berapa banyak suku. 

$\begin{align*}Un &= a+(n-1)b\\ 174 &= 24+(n-1).6\\ 174&=24+6n-6 \\ 174-24+6 &=6n \\  156&=6n \\  n&=26 \\ \end{align*}$

Ternyata ada 26 suku / bilangan antara 23 dan 175 yang habis dibagi 6. Kemudian kita cari jumlah 26 suku pertama dari deret tersebut.

$\begin{align*}Sn &=\frac{n}{2}(a+Un) \\  &=\frac{26}{2}(24+174) \\  &= 13.198\\  &= 2.574\end{align*}$

Soal nomor 3

Diketahui suku ke -4 suatu barisan aritmatika adalah 33, sedangkan suku ke-7 adalah 54. Besar suku ke -15 barisan tersebut adalah.​..

Penyelesaian

suku ke-4 = $U_{4}$ = 33

suku ke-7 = $U_{7}$ = 54

$\begin{align*}U_{4} &=33\Rightarrow a+3b=33 \\ U_{7} &=54\Rightarrow a+6b=54  \\ a+3b &=33 \\ a+6b &=54 \\  -3b&=-21 \\  b&=7 \end{align*}$

Setelah didapat nilai b, carilah nilai a dengan mengambil salah satu persamaan diketahui

$\begin{align*}a+3b &=33 \\ a+3.7 &=33 \\ a+21 &= 33\\ a &= 33-21=12\end{align*}$

Jadi nilai suku ke-15 dapat dihitung sebagai berikut:

$\begin{align*}U15 &= a+14.b\\  &=12+14.7 \\  &=12+98 \\  &=110 \\ \end{align*}$

Soal nomor 4

Diketahui jumlah suku pertama, suku ke-3, dan suku ke-4 suatu barisan aritmatika adalah 33. Jika suku ke-10 barisan tersebut adalah 33, maka suku pertamanya adalah ...

Penyelesaian

suku pertama = $U_{1}=a$ 

suku ke-3 = $U_{3}=a+2b$ 

suku ke-4 = $U_{4}=a+3b$ 

suku ke-10 = $U_{10}=a+9b$ 

$\begin{align*}U_{1}+U_{3}+U_{4} &=a+(a+2b)+(a+3b) \\ 33 &=3a+5b \Rightarrow pers.(1)\\  & \\ U_{10} &=33 \\ a+9b &= 33\Rightarrow pers.(2)\\  \end{align*}$

proses selanjutnya adalah eliminasi persamaan [1] dan persamaan [2]

$\begin{align*}3a+5b &=33\Rightarrow 3a+5b=33 \\  a+9b&=33\Rightarrow 3a+27b=99 \\ \end{align*}$

$\begin{align*}3a+5b &=33 \\ 3a+27b &=99 \\ .............. &......... \\  -22b&=-66 \\  b&=3 \\ \end{align*}$

setelah nilai b ketemu, sekarang carilah nilai a [suku pertama] dengan persamaan [1] atau [2]

$\begin{align*}a+9b &=33 \\ a+9(3) &= 33\\ a+27 &=33 \\ a &= 33-27=6\end{align*}$